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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 12.Exercícios e Problemas - Ex. 58

58. || a . Um disco de massa   M e raio R tem um buraco de raio r centrado no eixo de simetria. Calcule o momento de inércia do disco.

b . Confirme se sua resposta concorda com a T a b e l a   12.2 quando r   =   0 e quando r   = R .

c. Um disco de 4,0   c m de diâmetro com um buraco de   3,0   c m de diâmetro desce rolando uma rampa com 50   c m de comprimento e 20 ° de inclinação. Qual é o valor da velocidade na base da rampa? Isso corresponde a que percentagem da rapidez de uma partícula que desliza por esta rampa sem atrito?

Passo 1

a . Um disco de massa   M e raio R tem um buraco de raio r centrado no eixo de simetria. Calcule o momento de inércia do disco.

Por conta da ausência de dados, precisaremos usar derivadas e integrais e achar o que a questão pede. Mas não se preocupe, é fácil. Vamos deduzir algumas coisas e partir par letra a.

Um esquema para o disco é:

Em verde uma amostrazinha, ela necessária para poder usar derivada mas a frente.

Passo 2

Podemos determinar a área do disco:

A = π R 2 2 - π R 1 2 = π ( R 2 2 - R 1 2 )

Podemos usar a ideia de derivada agora. Uma pequena parte de massa d m sobre o todo de massa. E também uma outra pequena parte de área d A sobre um todo de área:

d m M = d A A

Mas nós já temos A , então:

d m = M π ( R 2 2 - R 1 2 ) d A

Passo 3

Veja que o   d A pode se relacionar com o r   e   d r , pelo comprimento de uma circunferência:

d A = 2 π r d r

Então podemos reescrever o d m :

d m = M π ( R 2 2 - R 1 2 ) 2 π r d r

d m = 2 M ( R 2 2 - R 1 2 ) r d r

E agora achamos o momento de inercia pela definição dele:

I = ∫ r 2 d m

I = ∫ r 2 2 M ( R 2 2 - R 1 2 ) r d r

⇒ I = 1 2 M ( R 2 2 + R 1 2 )

I = 1 2 M ( R 2 + r 2 )

Passo 4

b . Confirme se sua resposta concorda com a T a b e l a   12.2 quando r   =   0 e quando r   = R .

Se r   =   0 :

I = 1 2 M R 2 + 0 2 = 1 2 M R 2

Pela T a b e l a   12.2 este é o momento de inércia para um disco ou cilindro sólido sobre o centro.

Se R = r

I = 1 2 M R 2 + R 2 = M R 2

Pela T a b e l a   12.2   esta é a expressão para o momento de inércia de um aro cilíndrico ou toque no centro.

Passo 5

c. Um disco de 4,0   c m de diâmetro com um buraco de   3,0   c m de diâmetro desce rolando uma rampa com 50   c m de comprimento e 20 ° de inclinação. Qual é o valor da velocidade na base da rampa? Isso corresponde a que percentagem da rapidez de uma partícula que desliza por esta rampa sem atrito?

Um esquema para a letra c seria:

A rampa mede 50 c m = 0,5 m . Então o h vai ser :

h = 0,5 ⋅ s i n ⁡ ( 20 ° )

A energia potencial gravitacional inicial do disco é transformada em energia cinética à medida que rola para baixo. Podemos aplicar a lei de conservação de energia mecânica. Fica:

E c i n e t i c a - f i n a l = E p o t e n c i a l - i n i c i a l

1 2 I ω 2 + 1 2 M v c m 2 = M g h

Já temos I e v c m = ω R , desenvolvendo:

1 2 ⋅   1 2 M R 2 + r 2 v c m R 2 + 1 2 M v c m 2 = M g ⋅ 0,5 ⋅ s i n ⁡ ( 20 ° )

Substituindo os dados com R = 4 c m 2 = 0,02 m   e r = 3 c m 2 = 0,015 m

⇒ v c m = 1,37 m / s

Isso corresponde a que percentagem da rapidez de uma partícula que desliza por esta rampa sem atrito?

Usando conservação de energia, para velocidade final e inicial de uma partícula:

1 2 m v f 2 = m g h

1 2 v f 2 = g h

v f =   2 ⋅ 9,8 ⋅ 0,5 ⋅ s i n 20 °

v f = 1,83 m / s

A razão será:

v c m v f = 1,37 1,83 = 75 %

Resposta

( a )

I = 1 2 M ( R 2 + r 2 )

( b )

( c )

v c m = 1,37 m / s

75 %

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