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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 22.1 - Ex. 16

Um disco não-condutor de raio R está no plano z = 0 com seu centro na origem. O disco tem uma densidade σ . Determine o valor de z para o qual E z = σ / ( 4 ε 0 ) . Observe que, nesta distância, a intensidade do campo elétrico é metade da intensidade em pontos no eixo z que estão muito próximos do disco.

Passo 1

Vamos usar a equação do campo elétrico de um disco uniformemente carregado:

E z = σ 2 ε 0 1 - z z 2 + R 2

Fazendo E z = σ / 4 ε 0 .

Passo 2

Logo,

σ 4 ε 0 = σ 2 ε 0 1 - z z 2 + R 2

Divindo os dois lados por σ 2 ϵ 0 1 2 = 1 - z z 2 + R 2

Arrumando um poucos as coisas.... 1 2 - 1 = - z z 2 + R 2

- 1 2 = - z z 2 + R 2

Agora eu posso multiplicar por menos um e tcharam!

1 2 = z z 2 + R 2

Para tirar essa raíz daí, é só elevar todos os termos da equação por dois:

1 2 2 = z z 2 + R 2 2

Ficamos então com:

1 4 = z 2 z 2 + R 2

E agora é só multiplicar cruzado:

z 2 + R 2 = 4 z 2

R 2 = 4 z 2 - z 2

R 2 = 3 z 2

Como queremos um valor para z , é só tirar a raíz:

R = 3 z

Logo:

z = R 3

Resposta

Temos z = R / 3 .

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