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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 27.Exercícios e Problemas - Ex. 44

Mostre que o campo elétrico sobre o eixo de simetria de um anel de carga tem o comportamento esperado para z ≪ R e para z ≫   R .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Primeiro precisamos definir o campo elétrico a um ponto z de distância de um anel, e depois sim podemos analisar sob as circunstâncias dadas. Bora lá?!

Temos então:

E pede-se então o campo. Bom, sabemos que as componentes em y e x se anulam existindo assim somente componentes em z. logo:

E z = E i cos i ⁡ θ = 1 4 π   ε 0   Δ Q r i 2 cos i ⁡ θ             ( 0.1 )

Sendo r i o modulo da distancia do ponto a um ponto quaisquer do bastão, assim:

r i 2   = z 2 + R 2

E R a distancia ao raio do bastão.

E sabemos também que:

cos i ⁡ θ = z z 2 + R 2

De modo que:

E z = 1 4 π   ε 0   Δ Q z 2 + R 2 z z 2 + R 2 = 1 4 π   ε 0 z     Δ Q z 2 + R 2 3 2  

Como o campo elétrico está em Z e não há componente da carga na linha z, z é constante. Logo

E z = 1 4 π   ε 0 z     z 2 + R 2 3 2   ∫ d Q

E como a soma da carga é a carga:

E z = 1 4 π   ε 0 z     z 2 + R 2 3 2   ∫ 0 Q d Q = 1 4 π   ε 0 z   Q   z 2 + R 2 3 2  

Portanto:

E a n e l = 1 4 π   ε 0   z   Q   z 2 + R 2 3 2

Passo 2

Para R ≫ z :

E R ≫ 0 = 1 4 π   ε 0   z   Q   z 2 + R 2 3 2 → E = Q 4 π   ε 0 z R 3 = 0  

Vemos que quando R ≫ 0 o campo elétrico é nulo.

Passo 3

Para z ≫ R :

E z ≫ R = 1 4 π   ε 0 z   Q   z 2 + R 2 3 2 = Q 4 π   ε 0 z z 3 = 1 4 π   ε 0 Q z 2

Resposta

No anel:

E R ≫ 0 = 0  

E z ≫ R = 1 4 π   ε 0 Q z 2

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