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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 27.Exercícios e Problemas - Ex. 14

Dois discos com 10   c m de diâmetro são colocados frente a frente e afastados por 20   c m . Ambos os discos estão carregados com + 50   n C . Qual é a intensidade de campo elétrico

  1. no ponto equidistante entre os dois discos e;
  2. em um ponto sobre o eixo, distante 5,0   c m do disco?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fazendo um desenho do que o enunciado passa nós temos:

Precisamos definir o campo elétrico do disco a um ponto com uma distancia z do disco. Assim:

Sabemos pela definição de campo que:

E i = 1 4 π ε 0 ∫ d q r ' 2

Vemos que o campo em x e y se cancelam, logo:

E → = E z cos ⁡ θ = 1 4 π ε 0 ∫ d q r ' 2 cos ⁡ θ

Sabemos que a densidade de carga é dada por:

η = q A

d q = η   d A = η d π r 2 = η 2 π r   d r

Assim:

E → =   1 4 π ε 0 ∫ η 2 π r d r r ' 2 cos ⁡ θ

Para:

r ' = r 2 + z 2 1 2

E:

cos ⁡ θ = r r ' = r r 2 + z 2 1 2

Assim ficando:

E → = E z cos ⁡ θ = 1 4 π ε 0 ∫ η   2 π r d r r 2 + z 2   r r 2 + z 2 1 2 = η z 2   ε 0 ∫ r r 2 + z 2 3 2   d

Integrando de 0 ≤ r ≤ R , temos que o campo sobre um disco é:

E → = η 2 ε 0 1 - z R 2 + z 2

Para z ≫ R :

E → = η 2 ε 0 1 - 1 R 2 z 2 + 1

Este é o campo elétrico para quaisquer dos dois discos.

Passo 2

Sabendo que os dois campos, estando a um ponto equidistante, e tendo mesmo modulo mas com direção contrária, se cancelam, isto é, E 1 → = - E 2 → . De modo que:

E → = E 1 → + E 2 → = 0

Passo 3

Para b)

Sendo z = 0.050   m

Para E 1 → :

E 1 → = η 2 ε 0 1 - 1 R 2 z 2 + 1

Sabemos que a densidade de carga na superfície do disco é

η = Q A

η = Q π r 2 = 50 × 10 - 9 C π 0.0 . 5   m 2 = 6.366 × 10 - 6   C m 2

Portanto:

E 1 → = 6.366 × 10 - 6   C m 2 2 8.85 × × 10 - 12 C 2 N m 2 1 - 1 ( 0.050   m ) 2 ( 0.1   m ) 2 + 1 = 1.05 × 10 5 N C

Como vemos na imagem, é com direção pra direita.

Para   E 2 → :

E 2 → = 6.366 × 10 - 6   C m 2 2 8.85 × × 10 - 12 C 2 N m 2 1 - 1 ( 0.15   m ) 2 ( 0.1   m ) 2 + 1 = 1.85 × 10 4   N C

E com direção pra esquerda.

Assim:

E → = E 1 → + E 2 → = 8.7 × 10 4   N C

Para a direta.

Resposta

Para a)

E → = 0

Para b)

E → = 8.7 × 10 4   N C

Para a direta.

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