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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 17.3 - Ex. 17

Dois alto-falantes estão separados por uma distância de 3,35   m em um palco ao ar livre. Um ouvinte está a 18,3   m de um dos alto-falantes e a 19,5   m do outro. Durante o teste do som, um gerador de sinais alimenta os dois alto-falantes em fase com um sinal de mesma amplitude e frequência. A frequência transmitida varia ao longo de toda a faixa audível ( 20   H z a 20   k H z ). (a) Qual é a menor frequência, f m í n , 1 , para a qual a intensidade do sinal é mínima (interferência destrutiva) na posição do ouvinte? Por que número f m í n , 1 deve ser multiplicada para se obter (b) a segunda menor frequência, f m í n , 2 , para a qual o sinal é mínimo, e (c) a terceira menor frequência, f m í n , 3 , para a qual o sinal é mínimo? (d) Qual é a menor frequência, f m á x , 1 , para a qual o sinal é máximo (interferência construtiva) na posição do ouvinte? Por que número f m á x , 1 deve ser multiplicada para se obter (e) a segunda menor frequência, f m á x , 2 para qual o sinal é máximo, e (f) a terceira menor frequência, f m á x , 3 para a qual sinal é máximo?

Passo 1

Ok, primeiro vamos anotar a informação que já temos. Qual é a diferença de percurso das ondas nesse caso?

Δ L = 19,5 - 18,3 = 1,2   m

Certo, agora pra responder às primeiras perguntas queremos saber o seguinte: qual é a menor frequência que produz uma interferência destrutiva entre essas ondas.

Bom, o que a gente sabe sobre interferência destrutiva. Ah, sabemos que ela acontece quando a diferença de fase ϕ :

ϕ = Δ L λ ( 2 π )

Dá um múltiplo ímpar de π , ou seja, pode ser π , 3 π , 5 π , etc.

Matematicamente, isso pode ser representado assim:

ϕ = Δ L λ 2 π = 2 n - 1 π

Quando n = 1 ,   2 ,   e t c .

E então, se a gente dividir os dois lados por 2 π , a situação fica a seguinte:

Δ L λ = 2 n - 1 2 = n - 1 2

Mas todas as perguntas pedem a frequência, então vamos deixar isso tudo em função dela usando:

v = λ f

1 λ = f v

E então:

f = v n - 1 2 Δ L

Beleza, essa vai ser a nossa fórmula da interferência destrutiva.

Passo 2

(a) Agora a primeira coisa que queremos achar é a menor frequência que gera uma interferência destrutiva.

Como o n começa no 1 , vamos substituir:

f m í n , 1 = v 1 - 1 2 Δ L = v 2 Δ L

Vamos usar a velocidade que o livro diz pra usarmos nesse capítulo:

f m í n , 1 = 343 2 ( 1,2 ) = 143   H z

Passo 3

(b) Agora vamos usar a mesma lógica pra achar a segunda menor frequência, ou seja, o caso em que n = 2 .

f m í n , 2 = v 2 - 1 2 Δ L = 3 v 2 Δ L

f m í n , 2 = 3 343 ( 2 ) ( 1,2 ) = 429   H z

Ou seja, temos que multiplicar a f m í n , 1 por 3 .

Passo 4

(c) E agora é só fazer n = 3 :

f m í n , 3 = v 3 - 1 2 Δ L = 5 v 2 Δ L

f m í n , 3 = 5 343 ( 2 ) ( 1,2 ) = 715   H z

Ou seja, temos que multiplicar a f m í n , 1 por 5 .

Passo 5

Agora vamos tentar achar a fórmula das frequências que produzem interferências construitivas!

ϕ = Δ L λ ( 2 π )

A interferência destrutiva acontecia quando essa diferença de fase dava um múltiplo ímpar de π . Agora a construtiva vai envolver os múltiplos pares.

Matematicamente, isso pode ser representado assim:

ϕ = Δ L λ 2 π = 2 n π

Quando n = 1 ,   2 ,   e t c .

E agora é só seguir a mesma lógica de antes pra fazer a frequência aparecer aí:

Δ L λ 2 π = 2 n π

1 λ = n Δ L

f = v n Δ L

E essa é nossa fórmula da interferência construtiva.

Passo 6

(d) E então a menor frequência capaz de gerar uma interferência construtiva vai ser o caso n = 1

f m á x , 1 = v n Δ L = 343 1,2 = 286   H z

Passo 7

(e) E assim como fizemos antes, agora a segunda menor frequência vai ser o caso n = 2 .

f m á x , 2 = v n Δ L = ( 2 ) 343 1,2 = 572   H z

Ou seja, temos que multiplicar f m á x , 1 por 2 .

Passo 8

(f) E a terceira menor frequência vai ser o caso n = 3 .

f m á x , 2 = v n Δ L = ( 3 ) 343 1,2 = 858   H z

Ou seja, temos que multiplicar f m á x , 1 por 3 .

Resposta

(a) f m í n , 1 = 143   H z

(b) Multiplicar por 3 .

(c) Multiplicar por 5 .

(d) f m á x , 1 = 286   H z  

(e) Multiplicar por 2 .

(f) Multiplicar por 3 .

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