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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 27.Exercícios e Problemas - Ex. 18

Dois discos circulares, espaçados por 0 , 50   m m , formam um capacitor de placas paralelas. A transferência de 3,0 ×   10 2 elétrons de um disco para o outro gera um campo elétrico de intensidade igual a 2,0 ×   10 5   N C . Qual é o diâmetro do disco?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Temos que o campo elétrico em um disco, então cola comigo que nós faremos juntos.

Precisamos definir o campo elétrico do disco a um ponto com uma distancia z do disco. Assim:

Sabemos pela definição de campo que:

E i = 1 4 π ε 0 ∫ d q r ' 2

Vemos que o campo em x e y se cancelam, logo:

E → = E z cos ⁡ θ = 1 4 π ε 0 ∫ d q r ' 2 cos ⁡ θ

Sabemos que a densidade de carga é dada por:

η = q A

d q = η   d A = η d π r 2 = η 2 π r   d r

Assim:

E → =   1 4 π ε 0 ∫ η 2 π r d r r ' 2 cos ⁡ θ

Para:

r ' = r 2 + z 2 1 2

E:

cos ⁡ θ = r r ' = r r 2 + z 2 1 2

Assim ficando:

E → = E z cos ⁡ θ = 1 4 π ε 0 ∫ η   2 π r d r r 2 + z 2   r r 2 + z 2 1 2 = η z 2   ε 0 ∫ r r 2 + z 2 3 2   d

Integrando de 0 ≤ r ≤ R , temos que o campo sobre um disco é:

E → = η 2 ε 0 1 - z R 2 + z 2

Para z ≫ R :

E → = η 2 ε 0 1 - 1 R 2 z 2 + 1

Estando muito próximo do disco R ≫ z de forma que:

E = η 2 ε 0

Sendo de placas paralelas muito próximas, o campo delas se soma, logo:

E = 2 η ε 0 2 = η ε 0

Sendo:

η = Q A

Portanto, o campo elétrico entre dois discos muito próximos é de:

E = Q ε 0 A

Passo 2

Pede-se o diametro, assim:

A = Q E * ε 0

E sabendo que a área de um disco é dada por:

A = π r 2 = π D 2 2

Assim:

D 2 = 4 π Q E * ε 0

Sabendo que:

Q = n * e

D 2 = 4 π n * e E * ε 0

Passo 3

Aplicando os valores:

D = 4 π 3 × 10 2 1.6 × 10 - 19 C 8.85 × 10 - 12   C 2 N m 2 2.0 × 10 5 N C = 1.86   c m

Resposta

O diâmetro D é de:

D = 1.86   c m

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