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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 29.Exercícios e Problemas - Ex. 59

Dois eletrodos circulares com 10 cm de diâmetro, separados por 0,50 cm de distância, formam um capacitor de placas paralelas. Os eletrodos estão presos por fios de metal aos terminais de uma bateria de 15 V. Depois de um longo tempo, o capacitor é desconectado da bateria, mas não é descarregado. Quais serão as cargas sobre cada eletrodo, a intensidade do campo elétrico no interior do capacitor e a diferença de potencial entre os eletrodos:

a. Exatamente após a bateria ter sido desconectada?

b. Após os eletrodos terem sido afastados um do outro, com as mãos isoladas, até ficarem separados por 1,0 cm?

c. Após os eletrodos originais (não os eletrodos modificados do item

(b) serem expandidos até ficarem com o diâmetro de 20 cm?

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo? Temos um problema de capacitor de placas paralelas. Segundo o livro texto, o campo elétrico no interior de um capacitor de placas paralelas é E → = Δ V C d = 15 V 0.5 × 1 0 - 2 m = 3000 V / m ,   o u   3 k V / m . Precisamos encontrar as cargas. Para isso temos que levar em conta o campo uniforme gerado, que é dado por E → = σ ϵ 0 = Q ϵ 0 A onde este A é a área das placas. A carga é dada pela seguinte equação:

Q = E → ϵ 0 A

São placas circulares, logo temos a área de uma circunferência. A = π r 2

para encontrar ϵ 0 , basta lembrarmos do valor de k

k   =   9 × 1 0 9 N m 2 / C 2 = 1 4   π ϵ 0 → ϵ 0 = 1 ( 4   π ) ( 9 × 1 0 9 ) = 8.85 × 1 0 - 12 C 2 / N m 2

Q = E → ϵ 0 A = ( 3000 V / m ) ( 8.85 × 1 0 - 12 C 2 / N m 2 ) ( 3.14 * 0.05 m )

Q = 2.1 × 1 0 - 10 C

Passo 2

Após os eletrodos serem afastados, para uma distância de 1.0cm, as variáveis ainda permanecem as mesmo, entretanto, a DDP é diretamente proporcional com a distância. Como a distância está mudando de 0.5cm para 1.0cm, o valor de Δ V C também cresce. Portanto Δ V C = 15 V , passa a ser Δ V C = 30 V !

E = ( Δ V C ) / d →   Δ V C = E d → Δ V C = ( 3000 ) ( 1.0 × 1 0 - 2 ) = 30 V

Passo 3

Agora a condição seguinte é para os eletrodos expandidos até ficarem com diâmetro de 20cm. Isso acaba alterando a área para duas vezes o tamanho do diâmetro. A = π r 2 = π ( 2 r ) 2 , então nosso campo uniforme passa a ter a seguinte configuração, mas a carga nos capacitores ainda permanece a mesma.

E → = Q ϵ 0 A = Q 4 π r 2 ϵ 0 = Q 4 A   ϵ 0 = E → 4 = 3000 V / m 3 = 750 V / m   ou 0.75 k V / m

Resposta

(a) E → = Δ V C d = 15 V 0.5 × 1 0 - 2 m = 3000 V / m ,   o u   3 k V / m

Q = E → ϵ 0 A

Q = E → ϵ 0 A = ( 3000 V / m ) ( 8.85 × 1 0 - 12 C 2 / N m 2 ) ( 3.14 * 0.05 m )

Q = 2.1 × 1 0 - 10 C

(b) E = ( Δ V C ) / d →   Δ V C = E d → Δ V C = ( 3000 ) ( 1.0 × 1 0 - 2 ) = 30 V

(c) E → = Q ϵ 0 A = Q 4 π r 2 ϵ 0 = Q 4 A   ϵ 0 = E → 4 = 3000 V / m 3 = 750 V / m   ou 0.75 k V / m

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