Dois litros de ar ( γ = 1,4 ), nas condições normais de temperatura e pressão, sofrem uma expansão isobárica até um volume 50 % maior, seguida de um resfriamento a volume constante até baixar a pressão a 0,75   a t m . De quanto varia a entropia deste sistema?

Passo 1

Inicialmente temos 2   l de um gás nas condições normais de temperatura e pressão, então:

T = 273   K

P = 1   a t m

E podemos usar isso para calcular o número n de moles:

n = P V R T = 1 2 0,082 273 = 0,09   m o l

Passo 2

E primeiro queremos calcular a variação de entropia durante a expansão isobárica, em que o volume aumenta em 50 % .

Já que o enunciado deu γ = 1,4 , podemos usar uma das fórmulas que o livro dá para o cálculo da entropia de um gás ideal:

S = n C v ln ⁡ P V γ

Então:

Δ S 1 = n C v ln ⁡ P 2 V 2 γ - ln ⁡ ( P 1 V 1 γ ]

Com P 2 = P 1 = 1   a t m , V 2 = 1,5 V 1 e com V 1 = 2   l

Δ S 1 = n C v ln ⁡ P 1 1,5 V 1 γ - ln ⁡ P 1 V 1 γ

Δ S 1 = n C v ln ⁡ 1,5 γ P 1 V 1 γ P 1 V 1 γ

E substituindo C v = R γ - 1 :

Δ S 1 = n R γ - 1 ln ⁡ 1,5 γ

Δ S 1 = 0,09 8,31 1,4 - 1 ln ⁡ 1,5 1,4

Δ S 1 = 1,06   J / K

Passo 3

E em seguida queremos calcular a variação de entropia durante um resfriamento a volume constante até atingir a pressão P 3 = 0,75   a t m vindo de P 2 = 1   a t m .

Nesse processo o volume é mantido constante em V 2 = V 3 = 3   l .

E agora usamos a mesma fórmula para a variação de entropia:

Δ S 2 = n C v ln ⁡ P 3 V 3 γ - ln ⁡ P 2 V 2 γ

Δ S 2 = n R γ - 1 ln ⁡ P 3 V 3 γ P 2 V 2 γ

Substituindo os valores:

Δ S 2 = 0,09 8,31 1,4 - 1 ln ⁡ 0,75 1

Δ S 2 = - 0,54 J K

E então a variação total de entropia é:

Δ S = Δ S 1 + Δ S 2

Δ S = 1,06 - 0,54 = 0,52 J K

Resposta

A entropia do sistema varia em 0,52   J / K .

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