Dois trens passam pela mesma estação, sem parar nela, com dois minutos de diferença, ambos a 60 k m / h . O primeiro a passar viaja rumo ao sul e o segundo para o oeste. (a) Determine o vetor velocidade relativa do seguno trem em relação ao primeiro. (b) Com origem na estação, e tomando como instante inicial o da passagem do primeiro trem pela estação, represente graficamente o vetor deslocamento relativo do segundo trem em relação ao primeiro, nos instantes t = 0 , t = 2 m i n e t = 4 m i n . Que forma tem a trajetória do segundo trem vista do primeiro? (c) A que distância mínima os dois trens passam um do outro? Em que instante isso ocorre?

Passo 1

Vamos começar estabelecendo um par de eixos pra facilitar a nossa solução

A velocidade relativa entre eles é igual a:

v → = v 2 → - v 2 →

v → = - 60 , 0 - 0 , - 6 0

v → = - 60 , 60

O módulo da velocidade é de:

v → = 60 2 + 60 2

v → = 85 k m h  

E aponta na direção noroeste, a 45 ° exatos!

Passo 2

A posição do trem 1 é dada por:

r 1 → = 0 , - 60 t

E a posição do trem 2 é dada por:

r 2 → = - 60 t - 2 , 0

Então, a posição relativa entre eles é:

r → = r 2 → - r 1 →

r → = - 60 t - 2 , 60 t

r → = - 60 t + 120 ,   60 t

Isso é uma reta, que pode ser parametrizada por:

y = - x + 120

Que é uma reta que aponta na direção noroeste!

Vamos analisar os tempos que ele mandou no enunciado:

t = 0 : r 1 = ( 0,0 ) , r 2 = ( 120,0 ) , r = ( 120,0 ) .

t = 2 : r 1 = ( 0 , - 120 ) , r 2 = ( 0,0 ) , r = ( 0,120 ) .

t = 4 : r 1 = ( 0 , - 240 ) , r 2 = ( - 120,0 ) , r = ( - 120,240 ) .

Passo 3

A distância entre os trens é:

r → = - 60 t - 2 2 + 60 t 2

r → = 60 2 t 2 - 4 t + 4

r → = 60 2 t 2 - 2 t + 2

O valor mínimo dessa parte com raiz é o mínimo da função do segundo grau:

- - 2 2 + 4 1 2 4 = 1

Que ocorre para t = 1 min.

Então o valor mínimo de r → é 60 2 . Mas isso está numa unidade estranha! Está em k m h × m i n . Passando os 60 k m h para k m m i n :

r → = 2 = 1.4 k m

Resposta

  1. v → = 85 k m h  
  2. y = - x + 120
  3. r → = 2 = 1.4 k m
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