26. Duas esferas de chumbo de 100   k g cada uma são suspensas por cabos de massa desprezível com 100   m de comprimento cada um. As extremidades superiores dos cabos foram cuidadosamente ancoradas a exatamente 1   m de distância uma da outra. Qual é a distância entre os centros das esferas?

Passo 1

Então, de rápida impressão podemos achar que a distância entra as bolas vai ser 1   m já que os cabos que elas estão presas estão separados por essa distância.

Mas não é bem assim que acontece já que existe uma força gravitacional entre as esferas logo elas se deslocam uma em direção a outra, fazendo um ângulo θ com a vertical.

Abaixo podemos ver um diagrama de corpo livre para essa situação mostrando as forças que estão atuando nas esferas.

Pensando dessa forma cada esfera teve um deslocamento de L sen ⁡ θ uma na direção da outra por conta da força gravitacional, então temos que a distância ( d ) entre elas é dada por:

d = 1 - 2 L sen ⁡ θ

Então temos que dar um jeito de encontrarmos um valor para θ .

Para achar esse ângulo vamos usar uma velha conhecida nossa, a segunda lei de Newton. Como as esferas estão em repouso temos que a força resultante tanto na direção x quanto na direção y é zero.

Vamos atrás desse θ .

Passo 2

Para esse problema basta analisar uma das esferas já que elas são idênticas e sofrem das mesmas forças. Vamos analisar a da esquerda.

Na direção x , temos:

F g r a v - T sen ⁡ θ = 0

⇒ T sen ⁡ θ = F g r a v

⇒ sen ⁡ θ = F g r a v T

Na direção y temos o seguinte:

T cos ⁡ θ - m g = 0

⇒ T cos ⁡ θ = m g

⇒ cos ⁡ θ = m g T

Passo 3

Abem, no passo anterior encontramos uma expressão para sen ⁡ θ e uma para o cos ⁡ θ , vamos dividir um pelo outro, já que:

tg ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Então temos o seguinte:

tg ⁡ θ = F g r a v / T m g / T

⇒ tg ⁡ θ = F g r a v m g

Agora vamos usar o fato de que a força gravitacional entre as esferas é dada por:

F g r a v = G m m d 2

Com isso temos que:

t g   θ = G m d 2 g

Então galera sabemos todos os valores de forma tranquila menos d que é o que queremos, por isso vamos fazer uma aproximação, sabemos que d terá um valor muito próximo de 1   m , já que a força F g r a v não será muito grande por conta das esferas não serem muito grandes.

Então considerando d = 1 , temos o seguinte:

t g   θ = ( 6,67 ⋅ 10 - 11 ) ( 100 ) 9,8

⇒ tg ⁡ θ = 68,061 ⋅ 10 - 10

Então temos que:

θ = 3,9 ⋅ 10 - 7

Passo 4

Agora que temos o ângulo θ , vamos atrás de d , temos o seguinte:

d = 1 - 2 L sen ⁡ θ

Substituindo o que sabemos, temos:

⇒ d = 1 - 2 100 sen ⁡ 3,9 ⋅ 10 - 7

⇒ d = 0,9999986386   m

Essa é a distância entre as esferas.

Resposta

d = 0,9999986386   m

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