Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 16.1 - Ex. 36
Duas fontes de pontos coerentes estão em fase e são separadas por uma distância d. Um padrão de interferência é detectado ao longo de uma linha paralela à linha através das fontes e uma grande distância D das fontes, conforme mostrado na Figura 16-31. (a) Mostre que a diferença de caminho das duas fontes para algum ponto da linha em um ângulo é dada, aproximadamente, por . Dica: Assuma que , de modo que as linhas das fontes até P sejam aproximadamente paralelas (Figura 16-31b). (b) Mostre que as duas ondas interferem construtivamente em P se , onde , ... (Ou seja, mostre que há uma interferência máxima em P se , onde ) (c) Mostre que a distância do máximo central (em ) até o m-ésimo máximo de interferência em P é dada por , onde .
Passo 1
Olá! Tá bem? Então temos ondas sendo emitidas em e . Os caminhos dela se encontram em .
Mas como é muito grande, o enunciado pede para admitir que o caminho feito pela onda que sai de e o que sai de são paralelos.
a) No caso da letra (a), queremos saber uma aproximação para a diferença entre o comprimento dos caminhos feitos pelas ondas até chegar em P.
Podemos resolver essa olhando a figura b, como tem um ângulo de noventa graus entre a linha azul de baixo e a linha tracejada perpendicular, sabemos que aquele triangulo é retângulo, então podemos escrever a equação para o seno como:
Isolando ficamos com:
Como estamos supondo que as linhas das fontes são aproximadamente paralelas, então usamos o sinal na equação.
Passo 2
b) Então, para que haja interferência construtiva precisamos que a diferença de fase entre as ondas seja um múltiplo de :
Onde
Quando temos diferença de fase devido a diferença de percurso entre o caminho de duas ondas como temos nessa situação, vale a seguinte fórmulinha entre as duas ondas e o comprimento de onda :
Igualando nossas duas expressões para :
Isolando :
Prontinho, provamos o que ele pediu 😊
Passo 3
c) Vamos voltar a usar mais a geometria da figura aqui, tudo bem? Ele quer que a gente prove que , onde .
Esse é a distância da figura (a), ok? Ali temos um outro triângulo retângulo formado por e . Basta olharmos para a figura (a) e escrevermos a tangente do ângulo , que vai ser o nosso ângulo :
Esse que ele usa é só uma notação para representar que para cada valor de vamos ter uma situação nova.
Isolando :
Provamos uma parte. Agora olha o triângulo de (a) de novo. Dele, tiramos que
Lembra? Vou mudar esse sinal para um de igual, porque a gente já assumiu que os caminhos das ondas são paralelos e vou colocar um no só para a notação ficar igual:
E da letra (b), temos que
Substituindo:
Pronto! Provamos o que ele pediu!
Resposta
Demonstração nos passos