Enunciado

Duas massas, m 1 e m 2 , estão sobre o eixo xy, estando m 1 posicionado no lugar de origem e m 2 , na posição x e livre para mover-se por uma distância r de um ponto P com coordenadas x e y (Figura 7.27). A energia potencial gravitacional dessas massas é dada por U r = - G m 1 m 2 / r , onde G é uma constante. Mostre os componentes da força que atua sobre

m 2 , em função de m 1 são:

F x = - - G m 1 m 2 x x 2 + y 2 3 / 4 e F y = - - G m 1 m 2 y x 2 + y 2 3 / 4

(Sugestão: primeiro escreva r em termos de x e y.) (b) Mostre que o módulo da força que atua sobre m2 é F = G m 1 m 2 / r 2 . (c) m 1 atrai ou repele m 2 ? Como você sabe?

Passo 1

Aplicando:

F x = - ∂ U ∂ x

E

F y = - ∂ U ∂ y

Sabemos que:

r = x 2 + y 2 1 / 2

Assim,

∂ 1 r ∂ x = - x x 2 + y 2 3 / 2

E

∂ 1 r ∂ y = - y x 2 + y 2 3 / 2

Passo 2

  1. Assim,
  2. U r = - G m 1 m 2 r

    Então,

    F x = - ∂ U ∂ x = + G m 1 m 2 ∂ 1 r ∂ x = - G m 1 m 2 x x 2 + y 2 3 / 2

    E

    F y = - ∂ U ∂ y = + G m 1 m 2 ∂ 1 r ∂ y = - G m 1 m 2 y x 2 + y 2 3 / 2

    Passo 3

  3. Como:
  4. x 2 + y 2 3 / 2 = r 3

    Então,

    F x = - G m 1 m 2 x r 3

    E

    F y = - G m 1 m 2 y r 3

    E podemos calcular F da seguinte maneira:

    F = F x 2 + F y 2 = G m 1 m 2 x r 3 x 2 + y 2 = G m 1 m 2 x r 2

    Passo 4

  5. F x e   F y são negativos.

F x = α x

E

F y = α y

onde α é uma constante, então F → e o vetor r → de m 1 a m 2 são na mesma direção. Portanto, F →

é direcionado para m 1   na origem e F →   é atraente.

Resposta

b) G m 1 m 2 x r 2

c) a t r a e n t e .

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