Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 20
A massa do Ônibus Espacial orbital é cerca de e o período de sua órbita é 90 min. Estime a energia cinética da nave e o trabalho realizado pela gravidade sobre ela entre o lançamento e a entrada em órbita. (Apesar de a força da gravidade diminuir com a altitude, este efeito é pequeno para órbitas baixas. Use este fato para fazer a aproximação necessária; você não precisa calcular uma integral.) As órbitas são cerca de 250 milhas acima da superfície da Terra.
Passo 1
Olá! Tudo bem? Então, temos aqui um ônibus espacial na Terra. Depois ele é lançado no espaço e fica em uma orbita que dista da superfície da Terra.
Aí o que o enunciado pede é a energia cinética da nave e o trabalho realizado pela gravidade sobre ela.
Cara, uma dica para você: falou de trabalho e de energia cinética no mesmo contexto, você lembra logo do teorema trabalho-energia!
Olha a expressão dele:
Isso diz que o trabalho total feito em uma partícula é igual à variação de energia cinética. Para o nosso caso, a partícula é a nave. O momento inicial é quando a nave está na Terra se preparando para lançar. E o momento final é quando ela está em órbita. Escrevendo isso:
A energia cinética da nave é proporcional a velocidade dela. Como no lançamento, o ônibus está parado, ou seja, , temos que , então
Passo 2
Essa energia cinética da nave em órbita pode ser calculada pela expressão da energia cinética:
Só que a velocidade do ônibus, como está em um movimento circular, vai ser dada pela fórmulinha:
Nessa equação, é o raio da órbita, que é a distância da nave ao centro da Terra, logo ele vai ser a soma da distância da nave a superfície da Terra mais o raio da Terra:
E é o período da órbita. Temos então:
Agora podemos pegar essa e jogar na equação da energia:
Passo 3
Agora a gente joga os valores:
Percebe que a gente passou o período para segundos e as distâncias para metros. Isso dá o resultado em Joules:
Passo 4
E a gente viu que
Então:
Esse é o trabalho realizado no sentido do movimento. Ou seja, saindo da Terra.
Mas lembra que ele pede o trabalho realizado pela gravidade. A gravidade age no sentido de puxar as coisas para dentro da Terra. Então ela age no sentido contrário ao sentido do movimento.
Como a força gravitacional é a única atuando externamente a nave (a outra força atuando é a força que a própria nave produz para subir), temos que o trabalho total da gravidade sobre a nave vai ser igual ao trabalho que achamos antes, só que negativo:
Negativo porque a força gravitacional é contrária ao movimento da nave.