Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 9.1 - Ex. 46
Duas massas pontuais, e , estão separadas por uma barra sem massa de comprimento . (a) Escreva uma expressão para o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular à barra, que passa por ela a uma distância da massa . (b) Calcule e mostre que é mínimo quando o eixo passa pelo centro de massa do sistema.
Passo 1
- Bora lá, galera, mais uma questãozinha de momento de inércia. Aqui a gente vai aplicar o momento de inércia para o sistema de partículas, que é a soma do momento de inércia de cada uma das partículas.
- Vamos calcular a derivada de . Aqui é moleza, vai ser uma derivada de polinômios.
Se o eixo está a uma distância da massa , então ele está a uma distância da massa .
Passo 2
Não esquece: .
Expandindo o quadrado perfeito do segundo termo de , vai ficar:
Agora vamos derivar!
Lembra lá do cálculo que os pontos de máximos e mínimos ocorrem quando a derivada dá ? Então é só a gente igualar a derivada a para achar o que queremos!
Arrumando a casa:
Que é por definição a distância do centro de massa até .
Pronto, achamos o ponto crítico! Agora é só a gente mostrar que esse ponto é de mínimo. Como fazemos isso? Mostrando que a segunda derivada é positiva!
Passo 2
Vamos calcular agora a segunda derivada.
Que é claramente positivo, porque é a soma de duas coisas positivas. Então shoooow!