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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 9.1 - Ex. 45

Uma roda de vagão de 1,00 m de diâmetro consiste em um aro fino de 8,00 k g de massa e de 6 raios, cada um com 1,20 k g de massa. Determine o momento de inércia da roda de vagão em relação ao seu eixo.

Passo 1

Falaaaa, cê tá bem? Então, ele quer o momento de inércia de uma roda formada por um aro e 6 raios, em relação ao eixo de rotação, que passa pelo centro da roda.

Pra começo de conversa, uma roda com 6 raios é algo desse estilo aqui:

Tá, isso é uma roda de um carro, e não de um vagão. Então vamos olhar pra essa figura que mostra melhor a roda do vagão mesmo

O aro é essa parte em azul e os raios são essas partes em verde, que seriam como cilindros bem finos ligando o centro da roda a borda.

E, pensa aqui, o momento de inércia de um sistema é a soma do momento de inércia dos objetos que compõem o sistema. Se esse sistema for a roda toda, a gente pode dizer que os objetos são os 6 raios e o aro, então temos:

I r o d a = I a r o + 6 I r a i o

Então o que a gente precisa fazer é achar o momento de inércia do aro e de um raio, ambos em relação ao eixo que passa pelo centro, e depois jogar nessa expressão. Bora lá!

Passo 2

Bem, temos um aro e o eixo em relação a qual queremos o momento vai passar pelo sei centro. O momento de inércia de um aro em relação a um eixo que passa pelo seu centro é dado por

I a r o = M R 2

Onde M é a massa do aro e R é o raio do aro. Para a gente, M = 8   k g e o raio, que é a metade do diâmetro de 1   m , vale R = 0,5   m .

Substituindo nossos dados:

I a r o = M R 2 = 8 × 0,5 2

I a r o = 2   k g ⋅ m 2

Passo 3

E agora a gente precisa do momento de inércia de um raio em relação a um eixo que passa pelo sua extremidade, já que a extremidade do aro está no centro da roda.

Ele pode ser entendido como uma barra fina. A fórmula para o momento de inércia de uma barra fina em relação ao eixo passando pela sua extremidade é:

I r a i o = 1 3 M L 2

Onde M é a massa de um raio, então M = 1,2   k g e L é o comprimento de um raio. O comprimento de um raio é exatamente o que o nome diz, o raio da roda! Então vale metade do diâmetro de 1   m , R = 0,5   m .

Substituindo os valores:

I r a i o = 1 3 1,2 0,5 2

I r a i o = 0.1   k g ⋅ m 2

Passo 4

Já temos tudo que precisamos. A gente viu que:

I r o d a = I a r o + 6 I r a i o

Substituindo os valores:

I r o d a = 2 + 6 ∙ 0,1

I r o d a = 2,6   k g ⋅ m 2

Show de bolinhas :D

Resposta

I r o d a = 2,6   k g ⋅ m 2

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