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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercício - Ex. 32

Duas ondas que se deslocam por uma corda são idênticas, a não ser por suas velocidades opostas. Ambas obedecem à equação y x , t = A   s e n   ( k x ± ω t ) , onde o sinal de mais ou menos depende do sentido em que a onda se desloca.

  1. Mostre que a corda em vibração é descrita pela equação y t o t a l x , t = 2 A   s e n k x c o s ⁡ ( ω t ) .
  2. Mostre que a corda nunca se move nos lugares em que x = n λ / 2 , onde n é um número inteiro não negativo.

Passo 1

Letra a)

A onda total, pelo princípio da superposição, vai ser a soma das duas ondas, certo? Sendo assim teremos:

y t o t a l = A s e n k x + ω t + A s e n ( k x - ω t )

Beleza até aqui?

Agora vou usar uma propriedade do seno da soma de dois arcos:

s e n a ± b = s e n a c o s b ± s e n b c o s a

Aplicando essa propriedade para a = k x e b = ω t temos o seguinte:

y t o t a l = A s e n k x c o s ω t + s e n ω t c o s k x + s e n k x c o s ω t - c o s k x s e n ω t

Podemos então cancelar o segundo termo com o último, e ficamos com a seguinte expressão:

y t o t a l = A s e n k x c o s ω t + s e n k x c o s ω t = 2 A s e n k x c o s ω t

Passo 2

Letra b)

A corda não se move quando s e n k x = 0 e isso acontece nos pontos onde o argumento do seno é igual a um múltiplo de π :

k x = n π ,   n = 0,1 , 2 …

Sendo assim temos que x vai ser:

x = n π k

E substituindo k por 2 π / λ temos:

x = n π 2 π / λ

E simplificando teremos:

x = n λ 2

Feito? Vamos pra próxima!

Resposta

a )   2 A s e n k x c o s ω t

b )   x = n λ 2

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