Enunciado

A energia potencial acumulada no circuito visto na Figura 17.15 é V 0 e o capacitor da direita está descarregado. Calcule a energia potencial V f após a chave ser fechada e as correntes cessarem.

Passo 1

O primeiro passo é achar uma expressão para a carga Q no capacitor C 2 com a chave aberta. Para isso, usamos a relação

V 0 = Q 2 2 C 2 → Q 2 = 2 C 2 V 0

Agora nós vamos fechar a chave e a carga Q vai se dividir nos dois capacitores, sendo Q 1 no C 1 e Q 2 no C 2 :

Q 1 + Q 2 = Q

Além disso, a tensão no capacitor C 1 será φ 1 = Q 1 / C 1 e no capacitor C 2 será φ 2 = Q 2 / C 2 . Como essas tensões devem ser iguais (já que não há bateria no circuito:

Q 1 C 1 = Q 2 C 2 → Q 2 = C 2 C 1 Q 1

Logo,

Q 1 1 + C 2 C 1 = Q → Q 1 = C 1 C 1 + C 2 Q

Da mesma forma,

Q 2 = C 2 C 1 + C 2 Q

Passo 2

A energia total no circuito com a chave fechada será

V f = Q 1 2 2 C 1 2 + Q 2 2 2 C 2 2

Substituindo Q 1 e Q 2 do passo anterior:

V f = Q 2 2 C 1 + C 2 2 C 1 2 C 1 + C 2 2 C 2 = Q 2 2 C 1 + C 2

Usando a relação Q 2 = 2 C 2 V 0 , temos que

V f = C 2 C 1 + C 2 V 0

Resposta

V f = C 2 C 1 + C 2 V 0

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