Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 18.Exercícios e Problemas - Ex. 6
A Figura 18.18 mostra uma esfera metálica de raio igual a , com carga de , incrustada em uma esfera concêntrica de náilon, cujo raio é . Calcule a densidade superficial de carga de polarização na superfície (a) interna e (b) externa da esfera de náilon.
Passo 1
Para encontrar a densidade de carga de polarização, o primeiro passo é encontrar o vetor polarização no meio dielétrico (náilon). Para isso, achamos primeiro e vetor deslocamento elétrico considerando apenas a carga livre:
Consideremos uma superfície gaussiana esférica de raio maior que o raio da esfera metálica e menor que o raio da esfera dielétrica de náilon. A integral de fluxo fica:
A carga livre dentro dessa superfície é simplesmente a carga da esfera metálica: , de modo que
Como esse vetor é radial, podemos escrever
Essa é a magia do vetor deslocamento elétrico: para calcular ele a gente esquece totalmente as cargas de polarização e brinca com a lei de Gauss como se estivéssemos no vácuo!
Passo 2
A relação entre os vetores , e é dada por
Sabemos também que
Assim,
Usando a expressão do passo 1:
Passo 3
Por fim, temos que lembrar que a densidade superficial de carga de polarização acumulada na superfície do dielétrico é dada por
onde é versor normal à superfície do dielétrico, que aponta para fora dele.
Na superfície interna do dielétrico, temos e , de modo que
Já na superfície externa com e :
Não achei a constante dielétrica do náilon na tabela do livro, porém pesquisei na internet e encontrei , de modo que
Fazendo as contas: