Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 31
31. A energia potencial de um corpo de restrita ao eixo é dada por para e para ,onde está em joules e está em metros, e a única força que atua sobre esse corpo é a força associada a essa função de energia potencial.
(a) Em que posições esse corpo está em equilíbrio?
(b) Esboce um gráfico de versus .
(c) Discuta a estabilidade do equilíbrio para os valores de encontrados na parte (a).
(d) Se a energia mecânica total da partícula é 12 J, qual é a sua velocidade em ?
Passo 1
(a) Sabendo que a força associada, , é definida como o negativo da derivada da função de energia potencial em relação a , ou seja, , para determinar a força associada basta então realizar o cálculo, que nada mais é do que a derivada de um polinômio de terceiro grau:
Iguala-se então, a força obtida a zero, para encontrar os pontos de equilíbrio:
Obtemos então as posições de equilíbrio! Mas espera um pouco! Esse cálculo foi feito para quando . Mas e quando ocorre o contrário?
Bem! A questão diz que para . Logo nossa partícula estará em equilíbrio para todo nessa condição maior ou igual a .
Passo 2
(b) Com as posições de equilíbrio obtidas, que não são mais do que pontos onde a primeira deriva é nula, constrói-se o gráfico. Vamos pegar antes, um intervalo satisfatório que atenda as condições onde .
Que tal ?
Essa é uma boa pedida!
Vamos lá construir nosso gráfico, que vai ter a seguinte cara:
Passo 3
(c)
Para decidir se o equilíbrio em um ponto particular é estável ou instável, é necessário avaliar a segunda derivada da função energia potencial no ponto de interesse, no caso os pontos em que é igual a zero. Se o valor da segunda derivada resultar em um valor negativo, o equílibrio será instável, porém se o valor da segunda derivada for positivo, o equilíbrio será estável.
A questão é o seguinte! Precisa efetuar mesmo o cálculo da segunda derivada?
Olha nosso amiguinho aí da letra (b)! Por ele já podemos tirar nossas conclusões.
Em , o gráfico tem a concavidade voltada para cima. Logo, de acordo com o Cálculo 1, é um ponto de mínimo, onde o valor da segunda derivada é negativo, e portanto, o equilíbrio é instável.
Já em , o gráfico tem a concavidade voltada para baixo. Logo, é um ponto de máximo, onde o valor da segunda derivada é positivo, e portanto, o equilíbrio é estável
Passo 4
(d)
Como a energia mecânica se conserva, podemos dizer que ela é a soma das energias cinética e potencial . De maneira que:
Substituindo a posição dada na fórmula da energia potencia em termos de , conseguimos que:
E
Então, igualamos à fórmula da energia cinética e obtemos a velocidade :
Resposta
a) e
b) Resolução gráfica
c) Em , o equilíbrio é instável. Já em , o equilíbrio é estável.
d)