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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 71

Energia própria de uma esfera de carga. Uma esfera maciça de raio R , contém uma carga total Q distribuída uniformemente por todo seu volume. Ache a energia necessária para juntar essa carga, trazendo cargas infinitesimais de pontos distantes. Essa energia é chamada de “energia própria” da distribuição de carga. (Sugestão: Após juntar uma carga q   em uma esfera de raio   r , quanta energia será necessária para acrescentar uma casca esférica de espessura d r possuindo carga d q ? Depois, integre para obter a energia total.)

Passo 1

Pelo enunciado da questão temos que integrar para achar a energia total. Logo:

U = ∫ V d q

Passo 2

O potencial elétrico de uma esfera de raio R é:

V = Q 4 π ϵ o r

Podemos escrever a carga total Q em termos da densidade de carga e o volume:

Q = ρ 4 3 π R 3

Passo 3

Já para a carga da casca esférica de raio r :

d q = 4 π ρ r 2 d r

Passo 4

Substituindo na integral, temos:

U = ∫ 0 R ρ 4 3 π r 3 4 π ϵ o r 4 π ρ r 2 d r

U = ρ 4 3 π 4 π ϵ o 4 π ρ ∫ 0 R r 4 d r

U = ρ 4 3 π 4 π ϵ o 4 π ρ r 5 5 0 R

U = ρ 4 3 π 4 π ϵ o 4 π ρ R 5 5

Passo 5

Ajeitando nossa resposta para ficar em termos da carga Q

U = ρ 4 3 π R 3 4 π ϵ o 4 3 π ρ R 3 3 5 R

U = Q 4 π ϵ o Q 3 5 R

U = 1 4 π ϵ o 3 Q 2 5 R

Resposta

U = 1 4 π ϵ o 3 Q 2 5 R

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