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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 84

Use a distribuição de cargas e o campo elétrico do problema 22.57. (a) Mostre que r ≥ R o potencial é idêntico ao produzido por uma carga puntiforme Q. (Considere o potencial igual a zero no infinito). (b) Obtenha uma expressão para o potencial elétrico válido na região r ≥ R.

Passo 1

Para acharmos a diferença de potencial a partir do campo elétrico usaremos a expressão:

V a b = V a - V b = ∫ a b E _ ⋅ d r _

Como no infinito o potencial é zero, temos V a = 0 :

- V = ∫ ∞ r E _ ⋅ d r _

Passo 2

letra a)

Para   R ≤ r E = Q 4 π ϵ o r 2    

Integrando essa expressão:

V = - Q 4 π ϵ o ∫ ∞ r 1 r ' 2 ⋅ d r '

V = Q 4 π ϵ o - 1 r ' ∞ r

V = Q 4 π ϵ o r

Passo 3

letra b)

Para   R ≥ r E = Q 4 π ϵ o r 2 4 r 3 R 3 - 3 r 4 R 4    

- V = ∫ ∞ r E _ ⋅ d r ' _ = ∫ ∞ R E _ ⋅ d r ' _ + ∫ R r E _ ⋅ d r _ '

Integrando essa expressão:

V = - Q 4 π ϵ o ∫ ∞ R 1 r ' 2 ⋅ d r ' - Q 4 π ϵ o ∫ R r 1 r ' 2 4 r ' 3 R 3 - 3 r ' 4 R 4 ⋅ d r ' = = Q 4 π ϵ o R - Q 4 π ϵ o ∫ R r 4 r ' R 3 ⋅ d r ' - ∫ R r 3 r ' 2 R 4 ⋅ d r '

V = Q 4 π ϵ o R - Q 4 π ϵ o 2 r ' 2 R 3 - r ' 3 R 4 R r

V = Q 4 π ϵ o R - Q 4 π ϵ o R 2 r 2 R 2 - r 3 R 3 - 2 R 2 R 2 - R 3 R 3

V = Q 4 π ϵ o R r 3 R 3 - 2 r 2 R 2 + 2

Resposta

letra a) V = Q 4 π ϵ o r   R ≤ r

letra b) V = Q 4 π ϵ o R r 3 R 3 - 2 r 2 R 2 + 2   R ≥ r

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