Enunciado

  1. A equação (17.12) fornece a tensão necessária para manter constante o comprimento da barra à medida que a temperatura varia. Mostre que, se o comprimentpo pudesse variar de ∆ L quando sua temperatura varia de ∆ T , a tensão seria dada por

F A = Y ∆ L L 0 - α ∆ T

onde F é a tensão na barra, L 0   é o comprimento original da barra, A é a área de seção reta, α é o coeficiente de dilatação linear e Y é o modulo de Young. b) Uma pesada barra de latão possui duas projeções ligadas em suas extremidades, como mostra a Figura 17.32. Dois fios finos de aço amarrados entre as projeções estão apenas levemente esticados (sem nenhuma tensão) quando o sistema está a 20 ° C . Qual é a tensão de dilatação nos fios de aço quando a temperatura do sistema se eleva até 140   ° C ? Faça as hipóteses simplificadoras que julgar necessárias, porém enuncie e explique o que elas significam.

Passo 1

A mudança de comprimento devido ao aquecimento é:

  Δ L T = L 0 α Δ T

e isso não precisa ser igual a Δ L .

A mudança de comprimento devido à tensão é:

∆ L F = F L 0 A Y

Sendo que ∆ L = ∆ L F + ∆ L T .

Sabemos que:

α l a t ã o = 2,0 × 10 - 5   ° C - 1

α a ç o = 1,5 × 10 - 5 ° C - 1

Y a ç o = 20 × 10 10   P a  

Passo 2

  1. A mudança no comprimento é devido à tensão e aquecimento.
  2. ∆ L L 0 = F A Y + α ∆ T

    Resolvendo para F A :

    F A = Y ∆ L L 0 - α ∆ T

    Passo 3

  3. A barra de latão é dada como "pesada" e os fios são "finos", portanto, pode-se supor que a tensão na barra devido aos fios finos não afeta a quantidade pela qual a barra se expande devido ao aumento da temperatura. Este significa que Δ L não é zero, mas é a quantidade de latão α l a t ã o L 0 Δ T que o latão expande e, portanto,

F A = Y a ç o α l a t ã o - α a ç o ∆ T = 20 × 10 10   P a ) 2,0 × 10 - 5 ° C - 1 - 1,2 × 10 - 5 ° C - 1 120   ° C = 1,92 × 10 8   P a  

O comprimento da barra de latão aumenta mais que o comprimento dos fios de aço. Os fios permanecem tensos e estão sob tensão quando a temperatura do sistema é elevada acima de 20   ° C .

Resposta

  1. F A = Y ∆ L L 0 - α ∆ T
  2. 1,92 × 10 8   P a
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