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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 31.1 - Ex. 83

A Equacao 31-14 fornece a relacao entre o angulo de desvio ade um raio de luz incidente em uma gota esferica de agua em termos do angulo incidente 0,e do indice de refracao da agua.(a) Considere que n,=l e derive uma expressao para. Dica:   y = s e n - 1 ⁡ x ,  então  d y / d x = 1 - x 2 - 1 / 2 .(b)Use o resultado para mostrar que o angulo de incidencia para o desvio minimo ime dado por c o s ⁡ θ l n = 1 2 n 2 - 1 .(c)Oindice de refracao para certa luz vermelha na agua e 1,3318 e o indice de refracao para certa luz azul na agua e1,3435.Use o resultado da Parte(a)para determinar a separação angular destas cores no arco-iris primario.

Passo 1

E aiiii gente, vem fazer essa questão tranquilíssima comigo!

Segura na minha mão, e vem!

Na letra a, podemos seguir as instruções fornecidas na declaração do problema e usar a dica para estabelecer o resultado fornecido. Na letra b, vamos tratar o resultado da Parte (a) como um problema de valor extremo levará ao resultado dado. Na letra c, podemos usar a Equação 31-14 e o resultado da Parte (b) para encontrar a separação angular destes cores no arco-íris primário.

Letra a:

A Equação 31-14 é:

ϕ d = π + 2 θ 1 - 4 s i n - 1 ⁡ n a r s i n ⁡ θ 1 n água 

Para n a r = 1 e n á g u a   = n :

ϕ d = π + 2 θ 1 - 4 s i n - 1 ⁡ sin ⁡ θ 1 n

Use a dica para diferenciar ϕ d com relação a θ 1 :

d ϕ d d θ 1 = d d θ 1 π + 2 θ 1 - 4 sin - 1 ⁡ sin ⁡ θ 1 n = 2 - 4 cos ⁡ θ 1 n 2 - sin 2 ⁡ θ 1

Passo 2

Letra b:

Defina   d ϕ d / d θ 1 = 0 :

2 - 4 c o s ⁡ θ 1 n 2 - s i n 2 ⁡ θ 1 = 0  para o extremo

Simplifique para obter:

16 c o s 2 ⁡ θ 1 = 4 n 2 - s i n 2 ⁡ θ 1

Substitua s i n 2 ⁡ θ 1  com  1 - c o s 2 ⁡ θ 1 e simplifique para obter:

12 c o s 2 ⁡ θ 1 = 4 n 2 - 4

Resolva para cos ⁡ θ 1 = cos ⁡ θ 1 m :

c o s ⁡ θ 1 m = n 2 - 1 3

Passo 3

Letra c:

Expresse a separação angular Δ ϕ de azul e vermelho:

Δ ϕ = ϕ d,azul  - ϕ d vermelho                   ( 1 )

Da Equação 31-18, com n a r = 1 e n á g u a   = n :

ϕ d = π + 2 θ 1 - 4 s i n - 1 ⁡ sin ⁡ θ 1 n θ I m = c o s - 1 ⁡ n 2 - 1 3

ϕ d = π + 2 c o s - 1 ⁡ n 2 - 1 3 - 4 s i n - 1 ⁡ sin ⁡ cos - 1 ⁡ n 2 - 1 3 n

Avalie o ϕ d para luz azul na água:

ϕ d,azul  = π + 2 c o s - 1 ⁡ ( 1.3435 ) 2 - 1 3 - 4 s i n - 1 ⁡ sin ⁡ cos - 1 ⁡ ( 1.3435 ) 2 - 1 3 1.3435 = 139.42 ∘

Avalie o ϕ d para luz vermelha na água:

ϕ d , v e r m e l h o = π + 2 c o s - 1 ⁡ ( 1.3318 ) 2 - 1 3 - 4 s i n - 1 ⁡ sin ⁡ cos - 1 ⁡ ( 1.3318 ) 2 - 1 3 1.3318 = 137.75 ∘

Substitua os valores numéricos na equação (1) e avalie Δ ϕ :

Δ ϕ = 139.42 - 137.75 ∘ = 1.67 ∘

Resposta

  1. = 2 - 4 cos ⁡ θ 1 n 2 - sin 2 ⁡ θ 1
  2. c o s ⁡ θ 1 m = n 2 - 1 3
  3. Δ ϕ = 139.42 - 137.75 ∘ = 1.67 ∘
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