Um raio de luz deslocando-se com velocidade c parte do ponto 1 da Figura 33.54 é refletido no ponto 2. O raio atinge a superfície a uma distância horizontal x do ponto 1. a) Demonstre que o tempo t necessário para a luz se deslocar de 1 até 2 é dado por t = y 1 2 + x 2 + y 2 2 + l - x 2 c b) Faça a derivada de t em relação a x . Iguale a zero a derivada para mostrar que esse tempo atinge o valor mínimo quando θ 1 = θ 2 , que é a lei da reflexão e corresponde à trajetória real do raio. Trata-se do princípiclo tempo mínimo formulado por Fermat, segundo o qual, entre as trajetórias possíveis ligando dois pontos, aquela que realmente ocorre é a que gasta um tempo de percurso mínimo. (Contudo, existem alguns casos em que o tempo é máximo em vez de mínimo.)

a) t = y 1 2 + x 2 + y 2 2 + l - x 2 c b) demonstração

Enunciado

Aqui queremos saber o tempo de percurso que a luz demorou para fazer desde o ponto 1 até o ponto 2.

Sabemos que

Então:

Só temos que decobrir o deslocamento. Para isso, vamos analisar os dois triângulos retângulos formados na figura.

Quando o raio está “descendo”, temos que o deslocamento pode ser encontrado pelo teorema de pitágoras:

E quando o raio está “subindo”:

Beleza! A distância total é

Show! Vamos para e letra b!

Vamos derivar aquela equação em relação a , e confirmar o príncipio de Fermat do tempo mínimo.

Arrumando

e igualando à zero, pois queremos verificar a situação de mínimo da função:

Olhando para a figura percebemos que essa igualdade nada mais é do que:

E isso acontece quando temos

Maravilha!

b) demonstração