Para a equação de Schrödinger tridimensional, demonstre o teorema de Ehrenfest :
Passo 1
Temos que:
Como sabemos que a integral do meio é um valor esperado, temos que:
Como o momento não depende explicitamente do tempo, o termo do meio é nulo.
Passo 2
Vamos agora considerar a equação de Schrödinger tridimensional dependente do tempo.
Passo 3
Usando a equação de Schrödinger tridimensional dependente do tempo:
Passo 4
O termo nada mais é que o comutador entre o momento e o Hamiltoniano.
Lembrando que essa integral nos dá o valor esperado, temos que:
Passo 5
Precisamos agora descobrir quem é o comutador .
Passo 6
Substituindo o resultado do comutador:
que é a relação que tínhamos que demonstrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)