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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 6

Para a equação de Schrödinger tridimensional, demonstre o teorema de Ehrenfest :

d d t < p > = - < g r a d   V >

Passo 1

Temos que:

d d t < p > = d d t ∫ - ∞ ∞ Ψ * p   Ψ   d 3 x

d d t < p > = ∫ - ∞ ∞ d Ψ * d t p   Ψ   d 3 x + ∫ - ∞ ∞ Ψ * d p d t   Ψ   d 3 x + ∫ - ∞ ∞ Ψ * p   d Ψ d t d 3 x

Como sabemos que a integral do meio é um valor esperado, temos que:

d d t < p > = ∫ - ∞ ∞ d Ψ * d t p   Ψ   d 3 x + < d p d t > + ∫ - ∞ ∞ Ψ * p   d Ψ d t d 3 x

Como o momento não depende explicitamente do tempo, o termo do meio é nulo.

d d t < p > = ∫ - ∞ ∞ d Ψ * d t p   Ψ   d 3 x + ∫ - ∞ ∞ Ψ * p   d Ψ d t d 3 x

Passo 2

Vamos agora considerar a equação de Schrödinger tridimensional dependente do tempo.

d Ψ d t = 1 i h / 2 π H Ψ

d Ψ * d t = - 1 i h / 2 π H Ψ *

Passo 3

Usando a equação de Schrödinger tridimensional dependente do tempo:

d d t < p > = ∫ - ∞ ∞ - 1 i h / 2 π H Ψ * p   Ψ   d 3 x + ∫ - ∞ ∞ Ψ * p 1 i h / 2 π H Ψ d 3 x

d d t < p > = 1 i h / 2 π ∫ - ∞ ∞ Ψ * p H - H p   Ψ   d 3 x

Passo 4

O termo p H - H p nada mais é que o comutador entre o momento e o Hamiltoniano.

d d t < p > = 1 i h / 2 π ∫ - ∞ ∞ Ψ * p , H   Ψ   d 3 x

Lembrando que essa integral nos dá o valor esperado, temos que:

d d t < p > = 1 i h / 2 π < p , H >

Passo 5

Precisamos agora descobrir quem é o comutador p , H .

p , H = p , p 2 2 m + V

p , H = p , p 2 2 m + p , V

p , H = 0 + p , V

p , H = - i h / 2 π ∂ ∂ r , V

p , H = - i h / 2 π ∂ ∂ r , V

p , H = - i h / 2 π   g r a d   V

Passo 6

Substituindo o resultado do comutador:

d d t < p > = 1 i h / 2 π < - i h / 2 π   g r a d   V >

d d t < p > = - < g r a d   V >

que é a relação que tínhamos que demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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