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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo R.1 - Ex. 49

49. Qual o erro percentual cometido ao se usar 1 / 2   m 0 v 2 para a energia cinética de uma partícula cuja rapidez de uma partícula cuja rapidez é:

(a) 0,10 c

(b) 0,90 c

Passo 1

O erro percentual cometido ao se comparar as energias cinética relativística K r e l e a não- relativística K n ã o - r e l é dado por:

E r r o   p e r c e n t u a l = ∆ K K r e l = K r e l - K n ã o - r e l K r e l

E r r o   p e r c e n t u a l = 1 - K n ã o - r e l K r e l

Sabemos que a fórmula da energia cinética relativística K r e l , é dada por:

K r e l = m c 2 1 - v 2 c 2 - m c 2

K r e l = m c 2 1 1 - v 2 c 2 - 1

E a fórmula da energia cinética não-relativística K n ã o - r e l , todo mundo conhece, é dada por:

K n ã o - r e l = 1 2 m v 2

Vamos então substituir as duas expressões no cálculo do erro:

E r r o   p e r c e n t u a l = ∆ K K r e l = 1 - 1 2 m v 2 m c 2 1 1 - v 2 c 2 - 1

E r r o   p e r c e n t u a l = ∆ K K r e l = 1 - v 2 2 c 2 1 1 - v 2 c 2 - 1

Essa é a expressão que vamos usar para o cálculo do erro nas letras (a) e (b)

Passo 2

(a) Vamos calcular o erro percentual, para v = 0,10 c .

∆ K K r e l | v = 0,10 c = 1 - ( 0,10 c ) 2 2 c 2 1 1 - ( 0,10 c ) 2 c 2 - 1

∆ K K r e l | v = 0,10 c = 1 - ( 0,10 c ) 2 2 c 2 1 1 - 0,01 c 2 c 2 - 1

∆ K K r e l | v = 0,10 c = 1 - ( 0,10 c ) 2 2 c 2 1 1 - 0,01 - 1

∆ K K r e l | v = 0,10 c = 1 - 0,01 c 2 2 c 2 1 0,99 - 1

∆ K K r e l | v = 0,10 c = 0,007506

∆ K K r e l | v = 0,10 c ≅ 0,75 %

Passo 3

(b) E agora Vamos calcular o erro percentual, para v = 0,90 c .

∆ K K r e l | v = 0,90 c = 1 - ( 0,90 c ) 2 2 c 2 1 1 - ( 0,90 c ) 2 c 2 - 1

∆ K K r e l | v = 0,90 c = 1 - ( 0,90 c ) 2 2 c 2 1 1 - 0,81 c 2 c 2 - 1

∆ K K r e l | v = 0,90 c = 1 - ( 0,90 c ) 2 2 c 2 1 1 - 0,81 - 1

∆ K K r e l | v = 0,90 c = 1 - 0,81 c 2 2 c 2 1 0,19 - 1

∆ K K r e l | v = 0,90 c = 0,68705

∆ K K r e l | v = 0,90 c ≅ 68,71 %

Resposta

a) 0,75 %

b) 68,71 %

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