Enunciado
Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 24.1 - Ex. 51
Uma esfera condutora isolada de raio tem carga distribuída uniformemente sobre sua superfície. Determine a distância do centro da esfera tal que metade da energia eletrostática total do sistema está associada com o campo elétrico além desta distância.
Passo 1
Cara, para resolver este problema, vamos dar uma breve folosofada na questão antes:
Temos aqui uma esfera de raio carregada com uma carga de modo que ela produz um campo elétrico em toda a região do espaço...
De acordo com a nossa teoria, o fato de ter campo elétrico em um ponto qualquer do espaço, implica numa existência de energia pontual (onde o campo elétrico se encontra)... Essa energia pontual é dada por...
Como existe campo elétrico em todo ponto do espaço para , se a gente somar, se a gente somar a energia de todos esses pontos, isto e integrar em todo o espaço o quadrado campo elétrico...
A gente ganha a energia total eletrostática total do sistema está associada com o campo elétrico.
Só que assim, o campo elétrico fora da esfera cai com o quadrado da distância do centro da esfera...
Então, é de se esperar que se somarmos (integrarmos) a energia em totós os pontos do espaço (incluindo no infinito) a energia total vai existir e ser um número finito. O que queremos encontrar no problema é justamente encontrar o raio do volume ao redor da esfera que contém justamente a metade da energia total...
Sacou? Bora?
Passo 2
Então veja que precisamos primeiro encontrar qual é o valor da energia total armazenada no campo elétrico, e para isso, vamos precisar resolver a integral...
Repare que o campo elétrico varia com , então seria interessante a gente associar esse com , afinal assim a integral ficaria no papo!
Toda vez que estivermos falando de uma geometria esférica, podemos considerar o em função de como...
Então...
Substituindo a expressão do campo elétrico...
Integrando...
Atenção! Não existe , portanto não coloque isso na sua prova! Eu só coloquei aqui porque queria deixar explícito para você que esse termo tende a , afinal , saca? Então o resultado ficará...
Ou ainda...
Essa é a energia total armazenada pela esfera!
Passo 3
Beleza! Agora queremos saber qual é a energia que corresponde a metade da energia total...
De modo análogo ao passo anterior, a energia pode ser dada como o resultado de uma integral no volume que corresponde a metade da energia (com indo até )...
Reolvendo essa integral...
Bem, isso basicamente está nos dizendo que se a gente quer um volume ao redor da esfera que corresponda a metade da energia salva no campo magnético da esfera, basta a gente pegar uma esfera de raio , saca?