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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 25.Exercícios e Problemas - Ex. 52

Uma esfera maciça, não condutora, de raio R , tem uma distribuição de carga não uniforme de densidade volumétrica dada por ρ = ρ 1 r R , onde ρ 1 é uma constante e r é a distancia ao centro da esfera. Mostre que (a) a carga total da esfera é Q = π ρ 1 R 3 e (b) o campo elétrico dentro da esfera tem módulo dador por

E = 1 4 π ϵ 0 Q R 4 r 2

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para calcularmos a carga total da esfera precisamos integrar a densidade superficial de carga vezes a área da esfera, assim

Q = ∫ 0 R ρ A d r

Sabemos que área da esfera é

A = 4 π r 2

E ρ = ρ 1 r R

Substituindo na integral e tirando as constantes

Q = 4 π ρ 1 R ∫ 0 R r 3 d r = 4 π ρ 1 R R 4 4

Assim,

Q = π ρ 1 R 3

Passo 2

Aplicaremos a Lei de Gauss para a região r < R , escolhemos uma esfera de raio r como nossa superfície gaussiana. Então, o fluxo elétrico através desta superfície fechada é

∮ E   d A = 4 π r 2 E

Como a distribuição de carga não é uniforme, precisaremos integrar a densidade de carga para encontrar a carga contida em nossa superfície gaussiana. Na integral abaixo usamos a variável de integração r ' para distingui-lo do raio r da esfera gaussiana.

Q e n = 1 ϵ 0 ∫ r ' = 0 r ' = r 4 π ρ r ' 2 d r '

Como ρ = ρ 1 r R

Q e n = 1 ϵ 0 ∫ r ' = 0 r ' = r 4 π ρ 1 r ' R r ' 2 d r ' = π ρ 0 r 4 R

Q e n = Q r 4 R 4

Observe que a integração é iniciada e o raio da esfera gaussiana aparece como um limite da integral. Lembre-se de que a Lei de Gauss iguala o fluxo elétrico à carga fechada.

∮ E   d A = Q e n ϵ 0

Então, substituímos os dois cálculos acima na Lei de Gauss para chegar a

4 π r 2 E = Q r 4 R 4

Podemos resolver esta equação para o campo elétrico.

E = Q r 2 4 π R 4

O campo elétrico aponta radialmente para fora.

Resposta

  1. Q = π ρ 1 R 3
  2. E = Q r 2 4 π R 4

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