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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 12.Exercícios e Problemas - Ex. 85

85. || Uma esfera maciça de raio R é posicionada a uma altura de 30 cm

sobre uma rampa com 15° de inclinação. Ela é liberada e rola, sem

deslizar, até a base da rampa.

a. De que altura deveria ser liberado um aro circular de raio R, sobre

a mesma rampa, a fim de ter o mesmo valor de velocidade da

esfera na base da rampa?

b. Um aro circular com diâmetro diferente pode ser liberado de uma

altura de 30 cm e ter o mesmo valor de velocidade da esfera na

base da rampa? Em caso afirmativo, qual é seu diâmetro? Em

caso negativo, por que não?

Passo 1

a)

Esse exercício é muito parecido com o exemplo A grande corrida ladeira abaixo da pagina 366.

A gente precisa descobrir a velocidade com que a esfera chega na base da rampa, para achar a altura que precisamos soltar o aro circular. Vamos lá

Nesse caso ai a energia mecânica vai se conservar, pois não tem nenhuma força externa realizando trabalho.

Assim como o exemplo da pág. 366, vamos considerar que o potencial gravitacional nulo está na base da rampa, dessa forma no inicio só tínhamos energia potencial gravitacional e no fim só tínhamos energia cinética:

K f = U i

Temos duas energia cinéticas no final do movimento a de rotação e de translação, vamos escrever isso na nossa equação:

1 2 I ω 2 + 1 2 M v 2 = M g h

O momento de inercia de uma esfera maciça é de 2 5 M R 2 , nossa equação fica

1 2 2 5 M R 2 ω 2 + 1 2 M v 2 = M g h

Podemos cortar as massas:

1 5 R 2 ω 2 + 1 2 v 2 = g h

Vamos escrever a velocidade angular em função da velocidade e do raio:

1 5 R 2 v R 2 + 1 2 v 2 = g h

1 5 v 2 + 1 2 v 2 = g h

Isolando a velocidade:

1 5 + 1 2 v 2 = g h

7 10 v 2 = g h

v 2 = 10 g h 7

v = 10 g h 7

Só substituir e calcular a velocidade agora

v = 10 9,81 0,3 7

v = 2,05   m / s 2

Passo 2

Agora vamos descobrir a altura que o aro deve ser liberado para ter a mesma velocidade final. Vamos partir da mesma equação da conservação da energia mecânica que usamos no passo anterior:

1 2 I ω 2 + 1 2 M v 2 = M g h

Aqui o momento de inercia é de uma aro circular e é igua a M R 2 , vamos escrever isso ai:

1 2 M R 2 ω 2 + 1 2 M v 2 = M g h

Cortando as massas e substituindo a velocidade angular:

1 2 R 2 v R 2 + 1 2 v 2 = g h

1 2 v 2 + 1 2 v 2 = g h

v 2 = g h

Aqui queremos a altura, então vamos isolar ela

h = v 2 g

Substituindo os valores:

h = 2,05 2 9,81

h = 0,429   m

Passo 3

b)

No Passo anterior a encontramos uma equação para a velocidade final do aro:

v 2 = g h

v = g h

Ou seja, a velocidade final só vai depender da altura que o aro for solto. Dessa forma podemos variar o raio o quanto quisermos que não mudaremos sua velocidade final.

Resposta

ω f = 1,19   r a d / s

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