41. Um projétil é lançado da Terra na direção e no sentido do movimento terrestre em torno do Sol. Qual é o valor mínimo de velocidade que o projétil necessita ter com relação à Terra a fim de escapar do Sistema Solar? Despreze a rotação da Terra.

Dica: Este problema pode ser dividido em três partes. Primeiro, encontre a velocidade que um projétil precisa possuir, à distância da Terra, para escapar do Sol. Transforme essa velocidade para o sistema de referência da Terra e, depois, determine o valor de velocidade que o projétil precisa ter no lançamento a fim de estar com aquele valor de velocidade quando estiver muito distante da Terra

Seguindo a dica do enunciado vamos achar a velocidade que um projétil precisa, à distância da Terra, para escapar do Sol, ou seja, nós queremos descobrir quem é .

Vamos então usar a conservação de energia para o projétil:

Quando o objeto escapar não terá mais uma energia potencial já que ele irá sair do “domínio” do Sol, então:

Onde é a massa do projétil, é a massa do Sol e é distância do Sol a órbita circular que a Terra está. Resolvendo isso teremos:

Mas não é isso que o exercício pede, então vem comigo!

O exercício quer o valor mínimo de velocidade que o projétil necessita ter com relação à Terra a fim de escapar do Sistema Solar. Sendo assim ele quer a velocidade lançamento .

E como vamos achar essa velocidade? Bom, a velocidade total do projétil é a soma da velocidade de lançamento com a velocidade da Terra.

Temos mas precisamos e tem uma forma simples de achá-la.

A velocidade da Terra em sua órbita é encontrada da seguinte forma:

Tanto quanto são valores tabelados, então:

Agora nos falta substituir os valores da equação do passo anterior.

Fazendo a substituição:

Ou seja: