Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 49
Uma esfera metálica com raio está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo . Existe uma carga +q na esfera interna e uma carga -q na esfera externa.
a)Determine o potencial V(r) para as regiões (i) ; (ii) ; (iii). (Sugestão: O potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere V igual a zero para r infinito.
b)Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
c)Use a equação e o resultado do item (a) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por
d)Aplique a equação e o resultado do item (a) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro, sendo .
e)Suponha que a carga na esfera externa não seja -q, mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos -Q. Mostre que as respostas dos itens (b) e (c) não se alteram, porém a resposta do item (d) torna-se diferente.
Passo 1
letra a)
O potencial é fora da esfera dado pela expressão:
Já o potencial dentro da esfera é dado por:
Passo 2
(i)
Para , estamos pegando um ponto dentro das duas esferas:
Passo 3
(ii)
Para , estamos fora da esfera da esfera interna e dentro da esfera externa:
Passo 4
(iii)
Para , estamos fora das duas esferas :
Passo 5
letra b)
Agora ele pede para mostrar a relação
No item (a) calculamos :
Além disso sabemos que o potencial na superfície é zero (também calculamos no item (a))
Temos então:
Que é a relação que tínhamos que mostrar.
Passo 6
letra c)
Precisamos calcular agora o campo elétrico em pontos entre as duas esferas a partir da relação
Entre as duas esferas os potencial é
Então:
Passo 7
Mas não acabamos!!!
Para chegarmos na relação que ele quer vamos multiplicar e dividir por :
Agora sim!!!
Passo 8
letra d)
Agora precisamos calcular o campo elétrico para pontos fora da esfera
Vamos usar a mesma relação do item anterior:
Mas para
Então:
Passo 9
letra e)
Se carga passar a ser -Q, o potencial da esfera interna não irá se alterar mas o da esfera externa não será mais 0, e sim:
Então o potencial entre as esferas será :
Potenciais relativos às duas esferas não serão afetados porque terão uma pequena variação. Por isso o item (b) e (c) não irão se alterar.
Mas… o potencial fora da esfera deixará de ser zero:
Então o campo fora da esfera será:
Resposta
letra a) (i) ; (ii) ; (iii)
letra d)