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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 48

O potencial produzido por uma carga puntiforme Q localizada na origem é dado por

V = Q 4 π ε o r = Q 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2

a)Calcule Ex, Ey, e Ez usando a equação E = - Δ V .

b)Mostre que o resultado do item a está de acordo com a equação E _ = Q 4 π ε o r 2   r ^ para o campo elétrico de uma carga puntiforme.

Passo 1

letra a)

O campo elétrico é dado por:

E = - Δ V

Vamos então calcular as componentes.

Passo 2

Para a componente em x:

E x = - ∂ V ∂ x = - ∂ ∂ x Q 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2

Não podemos esquecer a regra da cadeia!!!!!

E x = - Q 4 π ε o ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 + z 2

E x = - Q 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3 × - x

E x = Q 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3 × x

E x = Q x 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3

Passo 3

Para a componente em y:

E y = - ∂ V ∂ y = - ∂ ∂ y Q 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2

Regra da cadeia!

E y = - Q 4 π ε o ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 + z 2

E y = - Q 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3 × - y

E y = Q 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3 × y

E y = Q y 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3

Passo 4

Para a componente em z:

E z = - ∂ V ∂ z = - ∂ ∂ z Q 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2

E z = - Q 4 π ε o ∂ ∂ z 1 x 2 + y 2 + z 2

E z = - Q 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3 × - z

E z = Q 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3 × z

E z = Q z 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3

Passo 5

letra b)

O vetor campo elétrico será:

E _ = E x   x ^ + E y   y ^ + E z   z ^ = Q x 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3   x ^ + Q y 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3   y ^ + Q z 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3   z ^

E _ = Q 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3   x   x ^ + y   y ^ + z   z ^

Passo 6

Podemos definir o vetor deslocamento como sendo:

r _ = x   x ^ + y   y ^ + z   z ^

r _ = r   r ^

Assim, o módulo de r será:

r = x 2 + y 2 + z 2

Passo 7

Podemos escrever o campo então:

E _ = Q 4 π ε o r 3   r _

Como r ^ = r r _ :

E _ = Q 4 π ε o r 2   r ^

Resposta

letra a) E x = Q x 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3 , E y = Q y 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3 , E z = Q z 4 π ε o x 2 + y 2 + z 2 3

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