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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 38

Uma esfera oca com paredes finas de massa igual a 12,0 kg e diâmetro de 48,0 cm está girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro. O ângulo (em radianos) em que ele gira em função do tempo (em segundos) é dado por θ t =   A t 2 +   B t 4 , onde A possui o valor numérico de 1,50 e B de 1,10.

a) Quais são as unidades das constantes A e B?

b) No instante de 3,0 s, ache i)o momento angular da esfera e ii) o torque resultante sobre a esfera.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma esfera oca com paredes finas de massa igual a 12,0   k g e diâmetro de 48,0   c m está girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro.

O enunciado ainda nos diz que o ângulo (em radianos) em que ele gira em função do tempo (em segundos) é dado por θ t =   A t 2 +   B t 4 , onde A possui o valor numérico de 1,50 e B de 1,10.

Queremos encontrar as unidades das constantes A e B .

Em seguida, devemos calcular o momento angular da esfera e o torque resultante sobre a esfera no instante 3,0   s .

Bom... aqui a gente vai ver vários conceitos envolvendo torque, momento de inercia, velocidade angular, etc...

Então vamos devagarinho em cada passo que vai dar certo!! 😉

Passo 2

Primeiro passo para entender a questão é substituir os valores numéricos dados no enunciado,

θ t =   1,5 t 2 +   1,1 t 4

Agora vamos analisar a função.

As constantes estão sendo multiplicadas por uma variável t, a unidade de t é atribuída à constante, juntamente com radianos.

Logo, A e B possuem unidades de 1,5   rad/ s 2 e 1,1   rad/ s 4 , respectivamente.

Passo 3

Vamos lembrar que a velocidade angular ω é dada pela seguinte fórmula:

ω = d θ d t

Onde θ é o ângulo percorrido e t é o tempo.

Assim, precisamos substituir a função θ t =   A t 2 +   B t 4 e derivar...

ω = d ( A t 2 +   B t 4 ) d t

ω = 2 A t + 4 B t 3

Show, né? A questão pede o momento angular e dá o tempo em 3 s , certo? Tudo bem, vamos substituir na equação, lembrando os valores de A e B.

ω = 2 1,5   rad/ s 2 3 + 4 ( 1,1   rad/ s 4 ) ( 3 ) 3

ω = 128   rad/s

Lembrando que estamos falando de uma esfera oca, hein? Muita atenção no momento de inércia.

L = 2 3 M R 2 ω

Feito isso, vamos substituir os dados e resolver a equação.

Passo 4

Substituindo:

L = 2 3 ( 12   kg ) 0,24   m 2 ( 128   rad/s )

Logo:

L = 59,0   kg⋅m²/s

Passo 5

O componente do torque resultante ao longo do eixo de rotação é dado pela seguinte equação:

τ = d L d t = I d ω d t = I ( 2 A + 12 B t 2 )

No instante t = 3,0   s , temos:

τ = 2 3 12   kg 0,24   m 2 [ 2 1,5   rad/s² + 12 1,1   rad/ s 4 3 2 ]

Logo:

τ = 56,1   kg⋅m²/s²

Resposta

a)

A = 1,5   rad/ s 2   e   B = 1,1   rad/ s 4

b)

i) L = 59,0   kg ⋅ m²/s

ii) τ = 56,1   kg ⋅ m²/s²

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