Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 17.Problemas Desafiadores - Ex. 122
a) Uma esfera oca possui uma superfície interna com temperatura e raio , e uma superfície externa com temperatura e raio . A condutividade térmica do matéria da esfera é . Deduza uma expressão para a taxa total de transferência de calor através da esfera oca. b) Deduza uma expressão para a variação de temperatura no interior da esfera oca da parte (a); ou seja, calcule em função de , a distância entre o centro da esfera e o ponto considerado. c) Um cilindro oco de comprimento possui uma superfície interna com temperatura e raio , e uma superfície externa com temperatura e raio . (O cilindro poderia representar, por exemplo, um tubo isolado que conduz água quente.) A condutividade do material do cilindro é . Deduza uma equação para a taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro. d) Para o cilindro da parte (c), deduza uma expressão para a temperatura no interior das paredes cilíndricas. e) Mostre que tanto a equação da taxa de transferência de calor obtida na parte (a) quanto a obtida na parte (c) se reduzem à Equação (17.21) para a transferência de calor linear quando a camada esférica ou o cilindro forem muito finos.
Passo 1
a) A Equação 17.21 que o enunciado fala é:
Como podemos ver pela equação, a diferença de temperatura dividida pela distancia entre os pontos que estão em diferentes temperaturas é o que dá a taxa de transferência. No caso da esfera oca, a distância entre a camada interna não cresce linearmente à medida que o raio aumenta como podemos ver pela equação da área da esfera:
Vamos então usar uma variação infinitesimal de temperatura na equação da taxa de transferência, provocada por uma variação infinitesimal no raio de uma esfera qualquer ao invés da razão entre a diferença das temperaturas e a distancia linear:
Podemos separar a equação diferencial:
E integrar dos dois lados considerando os limites de integração dados no enunciado:
Aqui consideramos que o calor varia de dentro para fora.
Se isolarmos a taxa de transferência, a equação se torna:
Passo 2
b) Para esse caso, sabemos que a temperatura varia com o quadrado da distância do centro da esfera, como afirmamos na letra (a), só que aqui a questão pede a variação de temperatura
até um ponto considerado . Podemos escrever a derivada da temperatura da seguinte maneira:
Sendo uma constante qualquer.
Separando:
E integrando usando o limite inferior dado pelo enunciado para a superfície interna da esfera e o superior um limite que é a temperatura no ponto :
Ficamos com:
E agora integramos de novo usando os limites dados pelo enunciado (repare que nos dois casos estamos fazendo a integração de dentro para fora da esfera):
Fica:
Isolando na última equação:
e substituindo na penúltima:
Tirando MMC do final e reescrevendo:
Passo 3
c) No caso do cilindro oco, podemos usar de novo a equação para começarmos o cálculo, e considerarmos de novo uma variação infinitesimal na temperatura provocada por uma variação em :
A área nesse caso é:
Sendo o comprimento do lado do cilindro.
Substituindo na equação da taxa de transferência de calor:
Separando:
Integrando dos dois lados, considerando os limites dados pelo enunciado:
Isolando , a equação para o cilindro fica:
Passo 4
d) Aqui a gente repete a mesma ideia do Passo 2, mas considerando que a temperatura varia com o inverso de já que é o que aconteceu ao deduzirmos a equação da letra (c):
Separamos a equação diferencial de novo e resolvemos para os dois casos, um com os limites inferior e superior dados pelo enunciado e o outro apenas com o limite inferior, já que o superior é o valor arbitrário, que dará o valor , ou seja, o valor da temperatura no ponto , e então substituímos uma equação na outra para fazer sumir. o resultado fica:
Passo 5
e) No caso da esfera da letra (a), se considerarmos que a distância entre os dois raios for muito pequena, podemos dizer que as duas superfícies têm aproximadamente o mesmo raio, assim:
E será o valor da distância entre as duas superfícies.
No caso do cilindro, podemos reescrever a função logaritmo no denominador do resultado da letra (c) como, se considerarmos de novo:
Como é muito pequeno, podemos fazer a aproximação:
A equação então fica:
E como a área é:
Sendo o raio do cilindro:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)