Enunciado

A pressão P , o volume V , o numeo de moles n e a temperatura Kelvin T de um gás ideal são relacionados pela equação P V = n R T , onde R é uma constante. Prove que o coeficiente de dilatação volumétrica de um gás ideal é igual ao inverso da temperatura Kelvin quando a expansão ocorre à pressão constante. b) Compare o coeficiente de dilatação volumétrica do cobre com o do ar a uma temperatura de 20   ° C . Suponha que o ar possa ser considerado um gás ideal e que a pressão permaneça constante.

Passo 1

a) A equação de dilatação volumétrica é:

∆ V = V 0 β ∆ T

Podemos começar relacionando dois estados do gás, o antes de expandir e o depois de expandir e usar a equação dos gases ideais para cada estado:

P 0 V 0 = n R T 0

P 1 V 1 = n R T 1

Se a pressão é constante:

P = P 1 = P 0

Vamos fazer a diferença entre as duas equações e substituir P :

P ∆ V = n R ∆ T

Passo 2

Agora precisamos considerar que n R pode ser substituído por qualquer estado do gás, se não houver aumento de massa durante o processo:

n R = P V T

Como estamos usando dois estados, vamos substituir n R pelo estado inicial do processo:

P ∆ V = P V 0 T 0 ∆ T

Simplificando e separando volume de temperatura:

∆ V V 0 = ∆ T T 0

Se fizermos o mesmo com a equação de dilatação:

∆ V V 0 = β ∆ T

Substituindo na equação anterior:

∆ T T 0 = β ∆ T

β = 1 T 0

Mas como foi dito anteriormente, a gente pode substituir as constantes por um estado qualquer do gás, a diferença é que a temperatura e o volume serão diferentes, mas a dependência de β com a temperatura será a mesma, então:

β = 1 T

Uma outra maneira de pensar é a seguinte, a equação dos gases ideais serve para qualquer estado do gás, então se considerarmos dois estados muito próximos na hora de fazermos todo o cálculo para provarmos a equação, é o mesmo que considerar um estado onde a temperatura é T .

Passo 3

b) Basta calcularmos o coeficiente do ar usando a equação que provamos:

β a r = 1 T = 1 293,15   K

E substituir na razão entre o coeficiente do cobre e do ar para comparar os dois: β a r β c o b r e = 1 293,15   K 5,1 × 10 - 5   K - 1 = 67

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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