Enunciado

Uma esfera com raio R 0,200 m tem densidade r que diminui com a distância r a partir do centro da esfera, de acordo com r 3,00 × 103 kg/m3 (9,00 × 103 kg/m4 )r. (a) Calcule a massa total da esfera. (b) Calcule o momento de inércia da esfera para um eixo ao longo de um diâmetro.

Passo 1

E aiiiiiiiii galera, tudo bom com vocês?

Vamos fazer mais uma questão!!

Letra a:

Divida a esfera em camadas esféricas finas de raio r e espessura d r . O volume de cada casca qualquer é d V = 4 π r 2 d r .

ρ r = a - b r , com a = 3.00 × 10 3 k g m 3   e   b = 9.00 × 10 3 k g m 4 .

Integrando:

M = ∫ d m = ∫ ρ d V = ∫ 0 R   a - b r 4 π r 2 d r = 4 3 π R 3 a - 3 4 b R

M = 4 3 π ( 0.200 m ) 3 3.00 × 10 3 k g m 3 - 3 4 9.00 × 10 3 k g m 4 0.200 m = 55.3 k g

Passo 2

Letra b:

O momento de inércia de cada casca esférica fina é

d I = 2 3 r 2 d m = 2 3 r 2 ρ d V = 2 3 r 2 a - b r 4 π r 2 d r = 8 π 3 r 4 a - b r d r .

I = ∫ 0 R   d I = 8 π 3 ∫ 0 R   r 4 a - b r d r = 8 π 15 R 5 a - 5 b 6 R

I = 8 π 15 ( 0.200 m ) 5 3.00 × 10 3 k g m 3 - 5 6 9.00 × 10 3 k g m 4 0.200 m = 0.804 k g ⋅ m 2

Resposta

  1. 55.3 k g
  2. 0.804 k g ⋅ m 2
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