Enunciado

Use integração para determinar o momento de inércia, em relação ao seu eixo, de um cone circular reto uniforme de altura H , raio da base R e massa M .

Passo 1

Oláaa, cê está bem? Ele quer o momento de inércia de um cone maciço em relação ao seu eixo.

Como o enunciado diz, já sabemos que vamos precisar integrar pra achar o momento de inércia. Já que o cone tem seções horizontais circulares, em vez de a gente calcular o momento de inércia pela definição:

I = ∫ r 2 d m

A gente vai dividir esse cone em discos de massa d m e raio r , onde r varia com a altura   z do cone:

Esses discos são muuuito fininhos, eles tem espessura d z . Por isso, a gente considera que o raio deles é constante em relação a essa espessura e vale r . (no desenho o disco não é tão fino, mas é mais para gente poder enxergar mesmo hehe)

Agora vamos ver como usar eles para achar o nosso momento de inércia do cone. Bora!

Passo 2

Por que gente faz essa divisão do cone em discos? Porque a gente sabe a fórmula do momento de inércia de um disco em relação a um eixo que passa pelo seu centro (é igual ao do cilindro maciço):

I = 1 2 m r 2

Então se nosso disco tem raio r e massa d m , o momento de inércia dele vai ser:

d I = 1 2 d m r 2

Aí para achar o momento de inércia do cone inteiro, a gente soma todos os d I de todos os discos usando uma integral:

I = ∫ 1 2   d m r 2

A ideia é a gente montar essa integral e calcular.

Passo 3

Precisamos reescrever essa d m . Podemos usar a massa específica do cone. Como? Ela é dada por

ρ = M V

Sendo que ρ é constante, então um disco nosso também vai ter essa massa específica. Logo, podemos escrever:

ρ = d m d V

d m = ρ d V

E d V é o volume do disco, que é área da base vezes a espessura d z :

d V = π r 2 d z

Então a massa d m do disco é:

d m = ρ d V

d m = ρ π r 2 d z

Substituindo na integral:

I = ∫ 1 2   d m r 2

I = ∫ 1 2   ρ π r 2 d z r 2

I = ∫ 1 2   ρ π r 4 d z

Passo 4

Agora repara que a nossa integral é em relação a variável z . Então a gente precisa colocar r em função de z .

Lembra que o raio de um disco varia com a altura do cone, ou seja, r é uma função de z ? Então vamos achar essa relação entre r e z . A gente pode usar semelhança de triângulos. Temos esse triângulo contido no cone:

Por semelhança:

r z = R H

r = R z H

Subsituindo na integral:

I = ∫ 1 2   ρ π r 4 d z

I = ∫ 1 2   ρ π R z H 4 d z

Passo 5

Como z é a altura, o valor máximo dele é 0   e o mínimo é H (altura do cone), então nossos extremos de integração são

0 < z < H

E aí momento de inércia do cone é calculado como:

I = ∫ 1 2   ρ π R z H 4 d z

I = 1 2 ∫ 0 H   1 2   ρ π R z H 4 d z

Tirando o que é constante da integral

I = π ρ R 4 2 H 4 ∫ O H z 4 d z

Usando a regrinha de integrar polinômios e arrumando o resultado:

I = π ρ R 4 H 10

Passo 6

Mas repara que não temos ρ , mas a gente sabe que

ρ = M V

E o volume de um cone é um terço do produto entre a altura dele H e área da base:

V = 1 3 H π R 2

Então ρ fica:

ρ = M 1 3 H π R 2

ρ = 3 M H π R 2

Substituindo no nosso I :

I = π ρ R 4 H 10

I = π 3 M H π R 2 R 4 H 10

Simplificando:

I = 3 10 M R 2

Resposta

I = 3 10 M R 2

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