Use integração para determinar o momento de inércia, em relação ao seu eixo, de um cone circular reto uniforme de altura , raio da base e massa .

Por que gente faz essa divisão do cone em discos? Porque a gente sabe a fórmula do momento de inércia de um disco em relação a um eixo que passa pelo seu centro (é igual ao do cilindro maciço):

Então se nosso disco tem raio e massa , o momento de inércia dele vai ser:

Aí para achar o momento de inércia do cone inteiro, a gente soma todos os de todos os discos usando uma integral:

A ideia é a gente montar essa integral e calcular.

Precisamos reescrever essa . Podemos usar a massa específica do cone. Como? Ela é dada por

Sendo que é constante, então um disco nosso também vai ter essa massa específica. Logo, podemos escrever:

E é o volume do disco, que é área da base vezes a espessura :

Então a massa do disco é:

Substituindo na integral:

Agora repara que a nossa integral é em relação a variável . Então a gente precisa colocar em função de .

Lembra que o raio de um disco varia com a altura do cone, ou seja, é uma função de ? Então vamos achar essa relação entre e . A gente pode usar semelhança de triângulos. Temos esse triângulo contido no cone:

Por semelhança:

Subsituindo na integral:

Como é a altura, o valor máximo dele é e o mínimo é (altura do cone), então nossos extremos de integração são

E aí momento de inércia do cone é calculado como:

Tirando o que é constante da integral

Usando a regrinha de integrar polinômios e arrumando o resultado:

Mas repara que não temos , mas a gente sabe que

E o volume de um cone é um terço do produto entre a altura dele e área da base:

Então fica:

Substituindo no nosso :

Simplificando: