Todos os exemplos da lei de Gauss usaram superfícies altamente simétricas através das quais a integral de fluxo é nula ou igual a . Nós também alegamos que o fluxo resultante é independente da superfície gaussiana usada. Vale a pena verificar se isso, de fato, é verdadeiro. A FIGURA PD28.55 apresenta um cubo com aresta de comprimento L, centrado em um fio fino dotado de uma densidade linear de carga . O fluxo através de uma face do cubo não é, simplesmente, igual a porque, neste caso, o campo elétrico varia em intensidade e orientação. Mas você pode calcular o fluxo efetuando a integral de fluxo.

a. Considere, por exemplo, a face direita do cubo, paralela ao plano . Defina o vetor área com módulo igual à área de uma faixa de largura e comprimento L e com a mesma orientação do eixo x. Uma dessas faixas é mostrada na figura, correspondente a uma posição y. Use o campo elétrico de um fio, já conhecido, para calcular o fluxo elétrico através dessa pequena área. Sua expressão deve ser uma função de y, que é uma variável, e de várias constantes, e não deverá depender explicitamente de quaisquer ângulos.

b. Agora integre para determinar o fluxo total através da face ilustrada.

c. Finalmente, mostre que o fluxo resultante através do cubo é .

Pronto para os problemas desafiadores?

Queremos o fluxo do campo elétrico, vamos começar definindo o campo elétrico

A área pela qual o campo elétrico vai sair é pela lateral do cilindro.

Vamos substituir a carga

Perfeito. Agora vamos deixar o em termos de largura e comprimento.

Bom, este é o campo elétrico. Porém, queremos o fluxo elétrico. Vamos definir a área com mais uma informação.

Substituindo o campo elétrico

Sendo podemos fazer algumas simplificações

Pronto :) só fazer o produto.