a) Para um estado excitado do átomo de hidrogênio, mostre que o menor ângulo que o momento angular orbital L → pode formar com o eixo O z é dado por

θ L m i n = arccos ⁡ n - 1 n n - 1

b) Qual é a expressão correspondente do maior ângulo que o momento angular orbital L → pode formar com o eixo O z ?

Passo 1

Primeiramente podemos utilizar a figura:

para relacionar θ l com L z , o que nos da:

cos ⁡ θ l = L z L

Passo 2

a) Queremos mostrar o resultado no qual θ l é mínimo e quando isso acontece teremos o maior L e o maior L z . Então:

m l = l = n - 1

Sabemos que o momento angular em z é:

L z = m l ℏ = n - 1 ℏ

Já o momento angular é:

L = l l + 1 ℏ = n - 1 n ℏ

Mas no passo 1 já vimos quais as relações entre   θ l   c o m   L z , agora só basta aplicarmos as condições para θ l ser mínimo:

θ l m i n = arccos ⁡ L z L = arccos ⁡ n - 1 ℏ n - 1 n ℏ   = arccos ⁡ n - 1 n - 1 n

Passo 3

b) O maior ângulo que pode ser formado com o eixo O z , ou seja, θ l m a x acontece quando:

l = n - 1

e

m l = - l = - n - 1

Portanto o θ l m a x é:

θ l m a x = arccos ⁡ L z L = arccos ⁡ - n - 1 ℏ n - 1 n - 2 ℏ   = arccos ⁡ - n - 1 n - 1 n - 2  

Resposta

a)   θ l m i n = arccos ⁡ n - 1 n - 1 n

b) θ l m a x = arccos ⁡ - n - 1 n - 1 n - 2  

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