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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 41.Problemas - Ex. 42

A função de onda normalizada de um átomo de hidrogênio no estado 2 s é dada no Problema 41.41.

a) Para um átomo de hidrogênio no estado 2 s , em que valor de r a probabilidade P ( r ) é máxima? Como seu resultado se compara com 4 a – a distância entre o elétron e o núcleo para o estado n = 2 no modelo de Bhor?

b) Para qual valor de r (além de r = 0 ou r = ∞ ) P ( r ) é igual a zero, de modo que a probabilidade de encontrar o elétron nessa distância em relação ao núcleo é igual a zero? Compare seu resultado com a Figura 41.5.

Passo 1

a) Sabemos que ψ r é real logo teremos que r 2 ψ 2 = r 2 ψ 2 .

Desta maneira a densidade de probabilidade P ( r ) será máxima quando:

d d r r 2 ψ 2 = 0

Rsolvendo essa derivada temos:

d d r r 2 ψ 2 = 2 r ψ 2 + r 2 ψ d ψ d r = 2 r ψ ψ + r d ψ d r = 0

Mas ψ r é dado por:

ψ r = 2 - r a   e - r / 2 a

Derivando:

d ψ d r = - 1 a 2 - r 2 a e - r / 2 a

Portanto se juntarmos o primeiro resultado que obtemos com esse a condição para máximo será:

2 - r a = r a ( 2 - r ) 2 a

Que é igual a:

r 2 - 6 r a + 4 a 2 = 0

A solução desta equação do segundo grau é:

r = a ( 3 ± 5 )

Portanto esse reio é aquele no qual a probabilidade P ( r ) é máxima e se comprarmos o raio no modelo de Bohr, teremos que ele será:

r = a ( 3 + 5 )

Passo 2

b) Além dos dois valores mencionados no enunciado, se fizermos ψ r = 0 obteremos que

o raio será:

r = 2 a

Resposta

a)   r = a ( 3 + 5 )

b)   r = 2 a

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