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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 10.1 - Ex. 26

Estime os valores inicais da rapidez com que se lança o patinador Timothy Goebel, da rapidez angular e da quantidade de movimento angular quando ele efetua um salto quádruplo (figura 10-41). Faça as suposições que julgar convenientes, mas justifique-as. A massa de Goebel é cerca de 60   k g e a altura do salto é de cerca de 0,60   m . Note que sua rapidez angular irá variar bastante durante o salto, já que ele começa com os braços esticados e depois os recolhe. Sua resposta deve ter uma precisão de um fator 2, se você for cuidadoso.

Passo 1

Vamos fazer as seguintes considerações: primeiro que o se lança com um ângulo de 45 ° com relação a horizontal com os braços abertos e em seguida os recolhe com o intuito de aumentar a velocidade rotacional. Além disso, vamos considerar que seu corpo é aproximadamente um cilindro de raio 0,2   m e altura 2   m .

Passo 2

Da cinemática, temos:

v y 2 = v 0 y 2 + 2 a y ⋅ Δ y

No ponto mais alto: v y = 0

0 = v 0 s e n 45 ° 2 + 2 ⋅ - g   ⋅ Δ y  

Repare que nosso Δ y é 0,60   m segundo o enunciado e supondo g = 9,81 m s 2 :

v 0 = 2 g Δ y s e n ( 45 ° ) = 4,9 m s

Agora vamos analisar a velocidade angular:

ω = Δ θ Δ t  

Vamos achar o Δ t então!

Δ t = 2 ⋅ Δ t s u b i d a = 2 ⋅ 2 ⋅ Δ y g

Substituindo os dados:

Δ t = 2 ⋅ 2 ⋅ 0,60 m 9,81 m s 2 = 0,699 s

Lembra que ele deu um salto quádruplo (4 revoluções):

ω = 4   r e v 0,699 s ⋅ 2 π r e v = 36   r a d / s

Passo 3

Fazendo conservação do momento angular:

I 0 ω 0 = I ω

Logo,

ω 0 = I I 0 ω = I b r a ç o s   f e c h a d o + I c o r p o I b r a ç o s   a b e r t o s + I c o r p o ω

Agora vamos fazer umas contas pra achar os momentos de inércia!

I c o r p o = m p a t i n a d o r ⋅ r 2 2 = 60   k g ⋅ 0,2 m 2 2 ≅ 1,20   k g ⋅ m 2

Agora para os braços, podemos considera-los barras. Vamos supor que algo em torno de 4 k g e 1 m

I b r a ç o s   a b e r t o s = 2 ⋅ m b r a ç o ⋅ l 2 3 = 2 3 ⋅ 2 k g ⋅ 1 m 2 ≅ 1,34   k g ⋅ m 2      

Repara que com os braços fechados, nosso r fica igual a largura do corpo!

I b r a ç o s   f e c h a d o s = 2 ⋅ m b r a ç o ⋅ l 2 3 = 2 3 ⋅ 4 k g ⋅ 0,2 m 2 ≅ 0,10   k g ⋅ m 2      

Logo, ω = I I 0 ω = 1,20 + 0,10 1,20 + 1,34 ⋅ 36 r a d s ≅ 18 r a d s

Pra finalizar:

L 0 = I 0 ω 0 →   L 0 = m r 2 ω 0

Substituindo, temos:

L 0 = 60 k g 0,20 m 2 18 r a d s = 43,2   m 2 / s

Resposta

ω ≅ 18 r a d s

L 0 ≅ 43,2   m 2 / s

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