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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 70

Exatamente uma volta de uma corda flexível de massa m é enrolada na periferia de um cilindro uniforme maciço de massa M e raio R . O cilindro gira sem atrito em tomo de um eixo horizontal ao longo do seu eixo . Uma das extremidades da corda está presa ao cilindro. O cilindro começa a girar com velocidade angular ω 0 . Depois de uma revolução , a corda se desenrolou e nesse instante ela está pendurada verticalmente tangente ao cilindro. Calcule a

velocidade angular do cilindro e a velocidade linear da extremidade inferior da corda nesse instante . Despreze a espessura da corda. ( Sugestão: Use a Equação ( 9.18 ).)

Passo 1

Para resolver este problema estaremos aplicando a Lei da conservação da energia que afirma que a energia não pode ser criada nem destruída, apenas pode ser transformada de uma forma de energia em outra e pode ser expressa pela seguinte equação:

E p 0 + E l 0 = E p + E k

Neste caso particular, a energia potencial gravitacional inicial será a soma das energias potenciais individuais do cilindro e do disco, e esta soma será igual a zero, pois o único movimento será de rotação:

E p 0 = 0

Por outro lado, quando se trata de energia cinética inicial, será a soma das energias cinéticas individuais do cilindro e do disco que são dadas como, respectivamente:

E k 0 c = 1 2 I c ω ² 0

E k 0 r = 1 2 I r ω 0 ²

Passo 2

A seguir, discutiremos o potencial gravitacional final e a energia cinética. A energia potencial final será a soma das energias potenciais gravitacionais finais individuais do cilindro e da corda, que são dadas, respectivamente, como:

E p c = 0

E p r = m g y c m = - m g π R

E a energia cinética final será a soma das energias cinéticas finais individuais do cilindro (rotacional) e da corda (translacional), que são dadas como:

E k c = 1 2 I c ω ²

E k r = 1 2 m v r ²

Portanto, as equações que determinam o potencial final e a energia cinética final do sistema serão dadas como:

E p = 0 - m g π R

E k = 1 2 I c ω ² + 1 2 m v r 2

E, a Lei de conservação de energia será dada como:

0 + ω 0 2 R 2 ( 1 4 M + 1 2 m ) + 0 = - m g π R + ω 2 R 2 ( 1 4 M + 1 2 m )

Portanto, a velocidade angular final do sistema pode ser expressa a partir da equação anterior como:

ω = ω 0 2 + 4 m g π R ( M + 2 m )  

E, finalmente, a energia translacional final da corda será dada por:

v r = ω R

Portanto, quando vamos colocar a equação que determina a velocidade angular na equação anterior e calculá-la:

v r = R ω 2 0 + 4 m g h R ( M + 2 m )

= R ω 2 0 R + 4 m g h R ( M + 2 m )

Resposta

R ω 2 0 R + 4 m g h R ( M + 2 m )

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