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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 79

Em uma experiência de laboratório você faz uma bola homogênea rolar para baixo de um rilho curvo. A bola parte do repouso e rola sem deslizar. Enquanto está sobre o trilho, a bola desce uma distância h. A extremidade inferior do trilho é horizontal e se estende para fora da extremidade da mesa do laboratório; a bola abandona o trilho deslocando-se horizontalmente.

Durante a queda livre, após abandonar o trilho, a bola se move até uma distância horizontal x e uma distância vertical y.

a) Determine x em termos de h e de y, desprezando o trabalho realizado pelo atrito.

b) A resposta do item (a) seria diferente se a experiência fosse feita na Lua?

c) Ao fazer a experiência com muito cuidado, o valor de x medido é menor do que o calculado no item (a). Por quê?

d) Qual seria o valor de x para o mesmo h e y do item (a) se você fizesse uma moeda de um real rolar para baixo do trilho? Despreze o trabalho realizado pelo atrito.

Passo 1

Usando o principio de conservação da energia ao movimento da bola. Depois que a bola sai da pista, a bola se move como um projétil.

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

Assim,   K 1 = 0 , porque inicialmente não há movimento e U 2 = 0 , porque a bola tem uma velocidade máxima.

U 1 + 0 = 0 + K 2

m g h = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

Considerando a bola uma esfera maciça I = 2 5 M R 2 . Então,

m g h 1 = 1 2 m v 2 + 1 2 ( 2 5 M R 2 ) ( v R ) 2

g h 1 = 1 2 v 2 + 2 10 v 2

h 1 = 7 v 2 10   g

Logo, temos que a velocidade é

v 2 = 10 g h 1 7

A energia cinética da bola quando ela sai da pista (quando ainda está rolando sem escorregar) é 7 v 2 10   g , e este deve ser o trabalho realizado pela gravidade, W   =   m g h , então v = 10 g h 1 7

A bola está no ar por um tempo

y - y 0 = v 0 t + a 2 t 2

Como v 0 = 0 , então...

y = g 2 t 2

t 2 = 2 y g

t = 2 y g

Em termos de x,

x = x 0 + v t

x = 0 + v t

x = v t = 20 y h 1 7

Como vimos, a resposta não depende de g, portanto o resultado deve ser o mesmo na lua.

Passo 2

Se fizermos a experiência, o valor de x medido é menor do que o calculado no item (a), devido a presença de fricção rolante, que diminuiria a distância.

Se no problema, utilizássemos uma moeda de um real rolar para baixo do trilho, o valor de x para o mesmo h e y, o momento de inércia seria diferente, então

K = 3 4 m v 2

Assim,

Como v = 4 g h 1 3 e t = 2 y g

x = v t = 8 h y 3

Resposta

a) v = 10 g h 1 7 ; x = v t = 20 y h 1 7 .

b) a resposta não depende de g, portanto o resultado deve ser o mesmo na lua.

c) o valor de x medido é menor do que o calculado no item (a), devido a presença de fricção rolante, que diminuiria a distância.

d) x = v t = 8 h y 3 .

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