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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 61

A expressão F   =   a r v   +   b r 2 v 2 dá o módulo da força resistiva (em newtons) exercida sobre uma esfera de raio r (em metros) por um fluxo de ar que se move com velocidade v (em metros por segundo), em que a e b são constantes com unidades SI adequadas. Seus valores numéricos são a   =   3,10 × 10 - 4 e b   =   0,870 . Usando essa expressão, encontre a velocidade terminal para gotículas de água que caem sob seu próprio peso no ar, considerando os seguintes valores para o raio das gotículas:

  1. 10,0   m m ,
  2. 100   m m ,
  3. 1,00   m m .

Para as partes (a) e (c), você pode obter respostas precisas sem resolver uma equação quadrática, considerando qual das duas contribuições à resistência do ar é dominante e ignorando a contribuição menor.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo e bora!

Na velocidade terminal, a força aceleradora da gravidade é equilibrada pela resistência à fricção:

m g = a r v + b r 2 v 2

Letra a:

Com r = 10.0 μ m ,     m g = 3.10 × 10 - 9 v + 0.870 × 10 - 10 v 2

Para a água:

m = ρ V = 1000 k g m 3 4 3 π 10 - 5 m 3

4.11 × 10 - 11 = 3.10 × 10 - 9 v + 0.870 × 10 - 10 v 2

Assumindo que v é pequeno, ignore o segundo termo à direita:

v = 0.0132 m s

Passo 2

Letra b:

Com r = 100 μ m ,     m g = 3.10 × 10 - 8 v + 0.870 × 10 - 8 v 2

Aqui não podemos ignorar o segundo termo porque os coeficientes são de magnitude quase igual.

4.11 × 10 - 8 = 3.10 × 10 - 8 v + 0.870 × 10 - 8 v 2 v = - 3.10 ± ( 3.10 ) 2 + 4 ( 0.870 ) ( 4.11 ) 2 0.870 = 1.03 m s

Passo 3

Letra c:

Com r = 1.00 m m ,     m g = 3.10 × 10 - 7 v + 0.870 × 10 - 6 v 2

Assumindo v > 1 m s e ignorando o primeiro termo:

4.11 × 10 - 5 = 0.870 × 10 - 6 v 2

v = 6.87 m s

Resposta

  1. v = 0.0132 m s
  2. 1.03 m s
  3. v = 6.87 m s
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