74. Intensidade em uma rede com fendas. Considere uma rede com fendas com uma distância constante entre fendas adjacentes. As fendas emitem coerentemente e em fase ondas de comprimento de onda . Mostre que para um instante o campo elétrico em um ponto distante é dado por

onde é a amplitude no ponto do campo elétrico produzido por uma fenda individual, , sendo o ângulo formado pelo raio que atinge o ponto P (medido a partir da perpendicular que passa pelo centro do conjunto das fendas) e é a distância entre o ponto e a fenda mais afastada. Neste problema, suponha que seja muito maior do que . Para fazer a soma indicada no item , é conveniente usar a seguinte relação envolvendo o número complexo

Onde . Na expressão anterior, é a parte real do número complexo e é sua parte imaginaria. Mostre que o campo elétrico é dado pela parte real da grandeza complexa

Usando a propriedade da função exponencial e a propriedade , mostre que a soma do item pode ser escrita na forma

A seguir, usando a relação , mostre que o campo elétrico (real) no ponto é

A grandeza entre os dois primeiros colchetes na expressão anterior é a amplitude do campo elétrico no ponto . Use o resultado da amplitude do campo elétrico do item para mostrar que a intensidade para qualquer ângulo é dada por

onde é a intensidade máxima de uma única fenda. Verifique o resultado geral do item para o caso . Será útil lembrar que . Explique por que seu resultado difere de um fator do resultado mostrado na Equação , que fornece a expressão da intensidade na experiência de fenda dupla. (Sugestão: é definido do mesmo modo nas duas expressões?)

Começando com o item .

O campo elétrico de uma única fenda pode ser dado por:

Nesse caso de fendas múltiplas podemos considerar cada fenda com sendo uma fonte onde essa fonte pode ser considerada uma onda avaliada em com uma amplitude máxima . Mas cada fonte sucessiva pegará uma fase extra devido ao seu percurso até o ponto

Então somando as contribuições de cada fonte e incluindo a acumulação de

diferença de fase que cada fonte apresenta, encontramos a expressão fornecida.

Agora vamos analisar o item .

Ele quer que mostremos que o campo fornecido pelo enunciado é dada pela parte real da seguinte expressão:

A parte real e a parte imaginária dessa expressão vêm do termo da exponencial, usando aquela relação dada pelo enunciado, temos que:

Onde a parte real dessa expressão é , então temos o seguinte até agora.

Agora se abrirmos essa soma, temos que:

Vamos para mais um, agora o item .

Esse item parece ser bem grandinho, mas não impossível. Ele quer que mostremos duas coisas a partir da soma que temos do item .

E ele sugere usarmos algumas propriedades e é isso que nós vamos fazer. Então temos o seguinte:

Como as duas primeiras exponenciais não dependem de podemos jogá-las para fora do somatório. Assim:

Agora para abrir esse somatório de uma forma simples, vamos fazer a seguinte substituição , já que:

Então temos que:

Com isso uma parte da primeira igualdade já encontramos, agora vamos para segunda parte dessa igual, para isso vamos fazer o seguinte:

Assim temos que:

Agora por último, para encontrarmos a segunda igualdade, vamos usar que , assim temos:

Pegando somente a parte real temos que:

Vamos agora para o item .

Ele quer que a partir do resultado do item encontremos a intensidade. Para isso basta lembrar que:

Fazendo isso temos que:

Fazendo que , temos que:

Onde que para o tempo médio temos que:

Agora temos o item .

Ele quer que avaliemos a intensidade para o caso em que (uma fenda dupla), assim temos que:

Usando a propriedade trigonométrica fornecida no item , temos que:

Então temos que:

Agora, o fator que temos diferente da equação é por conta de como definimos nosso .

Observando a equação vemos que ele define da seguinte forma:

Já no caso do item temos que:

Então temos que: