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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 10.7 - Ex. 40

A Fig. 10-33 mostra um arranjo de 15 discos iguais colados para formar uma barra de comprimento L   =   1,0000   m e massa total M   =   100,0   m g . O arranjo pode girar em tomo de um eixo perpendicular que passa pelo disco central no ponto O . (a) Qual é o momento de inércia do conjunto em relação a esse eixo? (b) Se considerarmos o arranjo como uma barra aproximadamente homogênea de massa M e comprimento L , que erro percentual estaremos cometendo se usarmos a fórmula da Tabela 10-2e para calcular o momento de inércia?

Passo 1

Então pessoal, considere três dos discos (começando pelo que está no ponto O): ⊕OO. De acordo com a Tabela 10-2(c), o primeiro (o que está no ponto O , assinalado por uma cruz) tem um momento de inércia I   =   m R 2 / 2 . De acordo com o teorema dos eixos paralelos, o segundo tem um momento de inércia

I   = m R 2 2   +   m h 2

sendo h = 2R. O terceiro tem um momento de inércia

I   = m R 2 2   +   m 4 R 2

Se tivéssemos considerado cinco discos, OO⊕OO, com o que está no ponto O no centro, o momento de inércia total seria

I   =   5 m R 2 2 +   2 m 2 R 2   +   m 4 R 2 .

Passo 2

Bom galera , o padrão agora está claro e podemos escrever para o conjunto de quinze discos:

I   =   15 ( m R 2 / 2 )   +   2 [ m 2 R 2   +   m 4 R 2   +   m 6 R 2   +   …   +   m 14 R 2 ]   =   2255 m R 2 / 2 .

A generalização para N discos (em que N é um número ímpar) seria

I   =   2 N 2   +   1 N m R 2 / 6 .

Fazendo   m   =   M / 15 e R   =   L / 30 , em que M é a massa total e L é o comprimento total da barra, temos:

I   =   0,083519 M L 2   ≈ 0,08352 0 , 0 1000   k g 1,0000   m 2   = 8,352 * 10 - 4   k g ⋅ m 2

Passo 3

Bom pessoal , comparando com a fórmula (e) da Tabela 10-2 (que nos dá aproximadamente I   =   0,08333   M L 2 ), vemos que a resposta do item (a) é   0,22 % menor

Resposta

I   =   5 m R 2 2 +   2 m 2 R 2   +   m 4 R 2

I   =   0,083519 M L 2   ≈ 0,08352 0,1000   k g 1,0000   m 2   = 8,352 * 10 - 4   k g ⋅ m 2

A resposta do item (a) é   0,22 % menor

Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então

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