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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 11.Problemas Adicionais - Ex. 80

Uma bola maciça homogênea rola suavemente em um piso horizontal e depois começa a subir uma rampa com uma inclinação de 15,0 ° . A bola para momentaneamente após ter rolado 1,50   m ao longo da rampa. Qual era a velocidade inicial?

Passo 1

Antes de iniciar a resolução desta questão, devemos lembrar que o momento de inércia de uma bola maciça homogênea cujo o eixo de rotação passa pelo seu cento de massa é:

I = 2 5 M R 2

Além disso, devemos perceber que a única força que realiza trabalho nesse deslocamento é o peso, portanto, pela lei da conservação da energia mecânica temos:

E M 0 = E M f

Por fim, lembrando que usando a trigonometria podemos determinar a altura em função do deslocamento, ( d ), de forma que:

h = d sin ⁡ θ

Passo 2

Sabendo que inicialmente a bola tem um movimento de rotação e translação, então:

E M 0 = K r o t + K t r a n s

E M 0 = 1 2 I ω 2 + 1 2 M v 2

Como trata-se de um rolamento sem deslizamento, temos que:

ω = v R

Substituindo esta relação na equação da energia mecânica:

E M 0 = 1 2 2 5 M R 2 v R 2 + 1 2 M v 2

E M 0 = 2 10 M v 2 + 5 10 M v 2

E M 0 = 7 M v 2 10

Passo 3

Com a energia mecânica inicial em mãos e sabendo que na altura máxima a energia cinética da bola é nula, então, aplicando a lei da conservação da energia mecânica, temos:

7 10 M v 2 = M g h

Lembrando que h = d sin ⁡ θ :

7 10 M v 2 = M g   d sin ⁡ θ

Isolando v :

v = 10 g   d sin ⁡ θ 7

Assim, substituindo os valores:

v = 10 × 9,8 × 1,5 × sin ⁡ 15 ° 7

v = 2,33   m / s

Resposta

v = 2,33   m / s

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