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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Adicionais - Ex. 68

Na Fig. 8-36, a corda tem um comprimento L = 120   c m e possui uma bola presa em uma das extremidades, enquanto a outra está fixa. Existe um pino no ponto P . Liberada a partir do repouso, a bola desce até a corda tocar o pino; em seguida, a bola sobe e começa a girar em torno do pino. Qual é o menor valor da distância d para que a bola dê uma volta completa em torno do pino? (Sugestão: a bola deve ainda estar se movendo no ponto mais alto da volta. Você sabe por quê?)

Figura 8-36 Problema 70

Passo 1

No ponto mais alto depois que a corda encosta no pino, temos a tração e força peso apontando para baixo, na direção do raio

A resultante das forças na direção do raio é chamada força centrípeta e é dada por

F r = F c = m v 2 r

Como só temos duas forças agindo no corpo e adotando o sentido para baixo como positivo.

T + P = m v 2 r

A bola passando com a menor velocidade possível na situação da figura acima, temos a tração da corda nula, logo

P = m v 2 r

m g = m v 2 r

v 2 = g r

Para L = r + d   → r = L - d

v 2 = g ( L - d )

Passo 2

Aplicando o princípio da conservação mecânica no início do movimento ( 1 ) e quando a bola atinge o ponto mais alto depois que a corda encosta no pino ( 2 ), temos

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Tomando como referência da energia potencial o ponto mais baixo do movimento. No ponto 1 a energia cinética é nula (objeto parte do repouso) e a energia potencial gravitacional é dada por

U 1 = m g h = m g L

No ponto 2

U 2 = m g h = m g 2 r = 2 m g L - d

E

K 2 = 1 2 m v 2 = 1 2 m g ( L - d )

Passo 3

Logo, substituindo na lei da conservação mecânica

m g L = 2 m g L - d + 1 2 m g L - d

L = L - d 2 + 1 2

L = L - d 5 2

L - d = 2 L 5

d = L - 2 L 5

d = 3 L 5

Para L = 1,2   m

d = 3.1,2 5

d = 0,72   m

Resposta

A menor distância d para que a bola dê uma volta completa em torno do pino é d = 0,72   m .

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