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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 9.2 - Ex. 6

A Fig. 9-39 mostra uma caixa cúbica que foi construída com placas metálicas uniformes de espessura desprezível. A caixa não tem tampa e tem uma aresta L = 40   c m . Determine (a) a coordenada x , (b) a coordenada y e (c) a coordenada z do centro de massa da caixa.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que calcular o centro de massa de uma figura em 3 D , onde cada face tem uma massa. Repara que a caixa não tem tampa, sendo um total de 5 faces. Além disso, temos uma caixa cúbica homogênea, todas as faces possuem a mesma massa. Deste modo, vamos aplicar:

x c m = m x 1 + m x 2 + m x 3 + m x 4 + m x 5 5 m

y c m = m y 1 + m y 2 + m y 3 + m y 4 + m y 5 5 m

z c m = m z 1 + m z 2 + m z 3 + m z 4 + m z 5 5 m

Onde, m i é a massa de cada partícula, x i é a posição do centro de massa no eixo x , y i é a posição do centro de massa no eixo y e z i é a posição do centro de massa no eixo z .

Passo 2

Vamos iniciar escrevendo as coordenadas das cinco faces:

f a c e   n o   p l a n o   y z :   x 1 , y 1 , z 1 = 0,20,20

f a c e   n o   p l a n o   x z : x 2 , y 2 , z 2 = ( 20,0 , 20 )

f a c e   n o   p l a n o   x y : x 3 , y 3 z 3 = ( 20,20,0 )

f a c e   p a r a l e l a   a o   p l a n o     y z : x 4 , y 4 , z 4 = 40,20,20

f a c e   p a r a l e l a   a o   p l a n o   x z : x 5 , y 5 , z 5 = 20,40,20

Passo 3

  1. Portanto, a coordenada x do centro de massa é:

    2. x c m = m 0 + 20 m + 20 m + 40 m + 20 m 5 m = 20   c m

    Repara que esse m é de massa e podemos coloca-lo em evidencia:

    x c m = m 20 + 20 + 40 + 20 5 m

    x c m = 20 + 20 + 40 + 20 5 = 20   c m

    Agora vamos aplicar o mesmo raciocínio para as outras coordenadas.

    Passo 4

  2. A coordenada y do centro de massa:

    3. y c m = 20 m + m 0 + 20 m + 20 m + 40 m 5 m = 20   c m

    Passo 5

  3. Por fim, a coordenada z do centro de massa:

z c m = 20 m + 20 m + 0 m + 20 m + 20 m 5 m = 16   c m

Resposta

  1. x c m = 20   c m ;
  2. y c m = 20   c m ;
  3. z c m = 16   c m .
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