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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 106

Uma lata em forma de cilindro simétrico de massa M e altura H está cheia de água. A massa inicial da água é M , mesma massa da lata. Um pequeno buraco é feito no fundo da lata, e a água começa a escorrer. (a) Se a altura da água na lata é x , qual é a altura do centro de massa do conjunto formado pela lata e a água dentro dela? (b) Qual é a altura mínima do centro de massa conforme a água escorre?

Passo 1

Se uma altura H de água corresponde a uma massa M , nós podemos definir uma fórmula que dá a massa de água em função da altura:

m a g = M H   x

Essa é a massa de água dentro da lata em função d x (a altura da água na lata). Já o centro de massa dessa massa de água é:

x C M = x 2

E o centro de massa da lata de massa M é fixo na altura H / 2 .

Passo 2

(a) Podemos usar isso tudo para escrever uma fórmula para o centro de massa do sistema:

y C M = m a g x 2 + M H 2 m a g + M

Substituindo m a g pela fórmula que escrevemos ali em cima:

y C M = M H   x x 2 + M H 2 M H   x + M

y C M = M H x 2 2 + M H 2 M x H + M  

E simplificando um pouco essa expressão:

y C M = x 2 2 H + H 2 x H + 1    

y C M = H 2 1 + x 2 H 2 1 + x H

Passo 3

(b) Agora queremos encontrar o valor de x para o qual a altura y C M do centro de massa é mínima.

Podemos fazer isso procurando o ponto de mínimo da função que acabamos de escrever:

y C M = H 2 1 + x 2 H 2 1 + x H    

Para fazer a derivada dessa função em relação a x vamos precisar da regra do quociente:

y C M ' = H 2   d d x 1 + x 2 H 2   1 + x H - 1 + x 2 H 2   d d x 1 + x H 1 + x H 2

Primeiro resolvemos as derivadas:

y C M ' = H 2   2 x H 2   1 + x H - 1 + x 2 H 2   1 H 1 + x H 2

E então podemos simplificar a expressão:

y C M ' = 1 2   2 x H + 2 x 2 H 2 - 1 - x 2 H 2 1 + x H 2

y C M ' = 1 2   x 2 H 2 + 2 x H - 1 1 + x H 2 = 1 2   x 2 H 2 + 2 x H - 1 1 + x H 2

E o ponto de mínimo ocorre quando essa derivada é igual a zero:

1 2   x 2 H 2 + 2 x H - 1 1 + x H 2 = 0

x 2 H 2 + 2 x H - 1 = 0

Passo 4

(b) Vamos resolver essa equação de segundo grau:

x = - 2 H ± 2 H 2 - 4 1 H 2 - 1 2 1 H 2

x = - 2 H ± 8 H 2 2 H 2 = - 2 ± 8 2 H

E como a altura da água na lata precisa ser um valor positivo, podemos descartar a raiz negativa:

x = 2 2 - 2 2 H = 2 - 1 H

Resposta

(a) y C M = H 2 1 + x 2 H 2 1 + x H .

(b) x = 2 - 1 H .

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